Funktionen: Zusammenfassung – Mathe Klasse 11

Kapitel 2Zurück zur KapitelübersichtAlle Unterkapitel zu Potenz-, Winkel-, Exponential- und Logarithmusfunktionen.

Roter Faden — wie alles zusammenhängt

Kapitel 2 stellt vier Funktionsklassen nebeneinander. Sie unterscheiden sich in einer einzigen, aber entscheidenden Frage: Wo steht die Variable \(x\)? Steht sie in der Basis, ist es eine Potenzfunktion; steht sie im Exponenten, eine Exponentialfunktion; steht sie im Argument eines Logarithmus oder eines Sinus, sind es die Logarithmus- bzw. Winkelfunktionen. Alles Weitere — Definitionsmenge, Symmetrie, Asymptoten, Parameterwirkung — folgt aus dieser Einordnung.

2.1.1 – 2.1.3 Grundform:\(f(x)=x^{n}\) mit \(n\in\mathbb{N}\); alle Graphen gehen durch \(P(1\,|\,1)\) und \(O(0\,|\,0)\), Punktprobe entscheidet über Zugehörigkeit.
2.1.4 – 2.1.6 Negative Exponenten & Symmetrie:\(x^{-n}=\frac{1}{x^{n}}\); Polstelle bei \(x=0\), Asymptoten \(x=0\) und \(y=0\). Der Faktor \((-1)^{n}\) steuert die Symmetrie.
2.1.7 – 2.1.8 Wurzel & Vorfaktor:\(x^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{x}\); der Vorfaktor \(a\) streckt (\(|a|>1\)), staucht (\(|a|<1\)) oder spiegelt (\(a<0\)).
2.2.1 – 2.2.3 Winkel & Verhältnisse:Sinus, Cosinus und Tangens als Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck und als Koordinaten am Einheitskreis; Bogenmaß statt Gradmaß.
2.2.4 – 2.2.6 Sinuskurve:\(f(x)=a\cdot\sin(b(x-d))+c\): Amplitude \(a\), Periode \(p=\frac{2\pi}{b}\), Verschiebung \(d\) und Mittellinie \(c\).
2.3.1 – 2.3.3 Exponentialfunktionen:\(f(x)=a\cdot n^{x+b}+c\); gleiche Faktoren in gleichen Schritten, Asymptote \(y=c\), gemeinsamer Punkt \((0\,|\,1)\) bei der Grundform.
2.4.1 – 2.4.3 Logarithmusfunktionen:Umkehrung des Potenzierens; Graph = Spiegelung der Exponentialkurve an \(y=x\), \(D_{f}=\mathbb{R}^{+}\), Asymptote \(x=0\).

Die vier Funktionsklassen im Vergleich

Die vier Funktionsklassen im Vergleich
Klasse	Grundform	Wo steht \(x\)?	Definitionsmenge	typisches Merkmal
Potenzfunktion	\(f(x)=a\cdot x^{n}\)	in der Basis	\(\mathbb{R}\) bzw. \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) für \(n<0\)	Symmetrie über die Parität von \(n\)
Winkelfunktion	\(f(x)=a\cdot\sin(b(x-d))+c\)	im Argument	\(\mathbb{R}\)	periodisch, beschränkt
Exponentialfunktion	\(f(x)=a\cdot n^{x}\)	im Exponenten	\(\mathbb{R}\)	gleicher Faktor je Schritt
Logarithmusfunktion	\(f(x)=\log_{a}(x)\)	im Argument	\(\mathbb{R}^{+}\)	Umkehrung der Exponentialfunktion

Der Unterschied zwischen \(x^{3}\) und \(3^{x}\) ist der wichtigste des Kapitels. Für kleine \(x\) liegen beide nah beieinander, für große \(x\) läuft die Exponentialfunktion davon: \(10^{3}=1000\), aber \(3^{10}=59\,049\).

Formelsammlung

Formelsammlung — Kapitel 2
Thema	Formel	Kurz
Potenzfunktion	\(f(x)=x^{n}\)	fester Exponent
Negativer Exponent	\(x^{-n}=\dfrac{1}{x^{n}}\)	Kehrwert
Wurzel als Potenz	\(x^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{x}\)	Bruchexponent
Symmetrie	\((-x)^{n}=(-1)^{n}\cdot x^{n}\)	Parität entscheidet
Achsensymmetrie	\(f(-x)=f(x)\)	gerades \(n\)
Punktsymmetrie	\(f(-x)=-f(x)\)	ungerades \(n\)
Seitenverhältnisse	\(\sin\alpha=\dfrac{\text{GK}}{\text{HY}}\), \(\cos\alpha=\dfrac{\text{AK}}{\text{HY}}\), \(\tan\alpha=\dfrac{\text{GK}}{\text{AK}}\)	rechtwinkliges Dreieck
Trigon. Pythagoras	\(\sin^{2}(x)+\cos^{2}(x)=1\)	Einheitskreis
Phasenverschiebung	\(\cos(x)=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\)	Viertelperiode
Allgemeine Sinusfunktion	\(f(x)=a\cdot\sin(b(x-d))+c\)	vier Parameter
Periode	\(p=\dfrac{2\pi}{b}\)	nicht \(2\pi\cdot b\)
Gradmaß / Bogenmaß	\(x_{\mathrm{rad}}=\dfrac{\pi}{180^{\circ}}\cdot\alpha\)	Umrechnung
Exponentialfunktion	\(f(x)=a\cdot n^{x}\)	\(a=f(0)\)
Wachstumsfaktor	\(q=1+\dfrac{p}{100}\)	Zunahme um \(p\,\%\)
Definition Logarithmus	\(\log_{a}(b)=c\ \Leftrightarrow\ a^{c}=b\)	gesuchter Exponent
Produktgesetz	\(\log_{a}(u\cdot v)=\log_{a}(u)+\log_{a}(v)\)	Produkt zu Summe
Potenzgesetz	\(\log_{a}\left(u^{k}\right)=k\cdot\log_{a}(u)\)	Exponent nach vorn
Basiswechsel	\(\log_{a}(b)=\dfrac{\log(b)}{\log(a)}\)	für den GTR
Exponentialgleichung	\(a^{x}=b\ \Rightarrow\ x=\log_{a}(b)\)	erst Vorfaktor weg

Checkliste — wo stehe ich?

Geh die acht Punkte ehrlich durch. Klapp erst auf, wenn du selbst eine Antwort formuliert hast — aufgeklappte Punkte zählen auf dieser Seite als erledigt.

Ich erkenne an einem Term, welche Funktionsklasse vorliegt.

Frage dich immer zuerst: Wo steht \(x\)? In der Basis \(\to\) Potenzfunktion (\(x^{4}\)), im Exponenten \(\to\) Exponentialfunktion (\(4^{x}\)), im Argument von \(\log\) oder \(\sin\) \(\to\) Logarithmus- bzw. Winkelfunktion. Unsicher? Dann noch einmal 2.1.1 und 2.3.1.

Ich kann die Symmetrie einer Potenzfunktion ohne Zeichnung angeben.

Gerader Exponent \(\to\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, ungerader \(\to\) punktsymmetrisch zum Ursprung. Der Grund ist \((-1)^{n}\), das Vorzeichen des Exponenten spielt keine Rolle. Mehr dazu in 2.1.6.

Ich weiß, warum \(x=0\) bei negativen Exponenten nicht zum Definitionsbereich gehört.

Bei \(x^{-n}=\frac{1}{x^{n}}\) stünde für \(x=0\) eine Null im Nenner. Deshalb ist \(D_{f}=\mathbb{R}\setminus\{0\}\), und der Graph besteht aus zwei getrennten Ästen mit den Asymptoten \(x=0\) und \(y=0\). Siehe 2.1.5.

Ich bestimme Amplitude, Periode und Wertemenge einer Sinusfunktion sicher.

Für \(f(x)=a\cdot\sin(b(x-d))+c\) gilt: Amplitude \(|a|\), Periode \(p=\frac{2\pi}{b}\), Mittellinie \(y=c\) und \(W_{f}=[c-|a|;\,c+|a|]\). Achtung: \(b\) wird geteilt, nicht multipliziert. Üben in 2.2.6.

Ich stelle aus zwei Messwerten einen exponentiellen Funktionsterm auf.

Erst den Vorfaktor aus dem Startwert (\(a=f(0)\)), dann die Basis aus dem zweiten Wert. Steht die Unbekannte in der Basis, hilft die Wurzel; steht sie im Exponenten, der Logarithmus. Siehe 2.3.2.

Ich löse Exponentialgleichungen mit dem Logarithmus.

Reihenfolge beachten: erst durch den Vorfaktor teilen, dann logarithmieren. Aus \(5\cdot 2^{x}=160\) wird \(2^{x}=32\) und daraus \(x=\log_{2}(32)=5\). Nachlesen in 2.4.1.

Ich erkläre, warum \(\log_{a}(x)\) nur für \(x>0\) definiert ist.

Der Logarithmus sucht den Exponenten mit \(a^{c}=x\). Eine Potenz einer positiven Basis ist immer positiv — für \(x\le 0\) gibt es also kein passendes \(c\). Genau das ist die gespiegelte Form der Asymptote \(y=0\) bei der Exponentialfunktion. Siehe 2.4.2.

Ich beurteile, ob ein Wachstumsmodell zur Situation passt.

Gleiche Summanden pro Schritt \(\to\) linear, gleiche Faktoren pro Schritt \(\to\) exponentiell. Und: Unbegrenztes exponentielles Wachstum ist in der Realität nie dauerhaft möglich — irgendwann greift eine Sättigungsgrenze.