Die drei Winkelfunktionen am Einheitskreis
Ein Zeiger der Länge \(1\) bildet mit der \(x\)-Achse den Winkel \(\alpha\). Das Lot vom Zeigerende auf die \(x\)-Achse erzeugt ein rechtwinkliges Dreieck.
Die hellblaue Strecke ist die Gegenkathete des Winkels \(\alpha\), die grüne die Ankathete. Der Zeiger selbst ist die Hypotenuse mit der Länge 1.
- Hypotenuse:längste Seite, gegenüber dem rechten Winkel — hier der Zeiger mit \(r=1\).
- Gegenkathete:liegt dem Winkel \(\alpha\) gegenüber, im Bild senkrecht.
- Ankathete:liegt am Winkel \(\alpha\) an, im Bild waagerecht.
- Einheitskreis:wegen \(r=1\) ist \(\sin(\alpha)\) die senkrechte und \(\cos(\alpha)\) die waagerechte Strecke.
Winkelfunktionen: \(\sin(\alpha)=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}\), \(\cos(\alpha)=\dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}\), \(\tan(\alpha)=\dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\)
Ziehe den Punkt, nutze den Regler oder die Pfeiltasten. Beobachte die beiden farbigen Strecken und die Werte rechts.
Sinus und Cosinus am Einheitskreis
Der Zeiger startet auf der positiven \(x\)-Achse und läuft gegen den Uhrzeigersinn.
Bei \(90^\circ\) und \(270^\circ\) schrumpft die grüne Strecke auf \(0\). Der Tangens hätte dann \(0\) im Nenner und ist nicht definiert.
Die Werte, die du auswendig kennen musst
Liegt der Zeiger auf einer Achse, ist eine Strecke so lang wie der Radius und die andere verschwindet.
Zeigt der Zeiger nach rechts oder links, ist der Sinus \(0\). Zeigt er nach oben oder unten, ist der Cosinus \(0\).
- Zeiger waagerecht:\(\sin(\alpha)=0\), \(\cos(\alpha)=\pm1\).
- Zeiger senkrecht:\(\cos(\alpha)=0\), \(\sin(\alpha)=\pm1\).
| \(\alpha\) | \(0^\circ\) | \(90^\circ\) | \(180^\circ\) | \(270^\circ\) | \(360^\circ\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(\sin(\alpha)\) | 0 | 1 | 0 | −1 | 0 |
| \(\cos(\alpha)\) | 1 | 0 | −1 | 0 | 1 |
| \(\tan(\alpha)\) | 0 | nicht definiert | 0 | nicht definiert | 0 |
Tangens: bei \(90^\circ\) und \(270^\circ\) nicht definiert, weil dort \(\cos(\alpha)=0\) ist
Winkel über 360° hinaus
Der Zeiger kann über \(360^\circ\) hinaus weiterdrehen. Er landet dann wieder auf denselben Punkten.
Nach einer vollen Umdrehung fehlen noch \(270^\circ\) — dort zeigt der Zeiger senkrecht nach unten.
- Vorgehen:volle Umdrehungen von \(360^\circ\) abziehen, bis der Winkel zwischen \(0^\circ\) und \(360^\circ\) liegt.
- Beispiel:\(\sin(630^\circ)=\sin(360^\circ+270^\circ)=\sin(270^\circ)=-1\).
- Gültigkeit:\(\sin\), \(\cos\) und \(\tan\) sind für beliebige Winkel definiert.
Volle Umdrehung: \(\sin(\alpha+360^\circ)=\sin(\alpha)\)
Drehe über eine volle Umdrehung hinaus. Links siehst du Zeiger und Spirale, rechts den Sinuswert über dem Winkel.
Über 360° hinaus
Der Regler läuft bis \(1080^\circ\), also über drei volle Umdrehungen.
Bei \(270^\circ\), \(630^\circ\) und \(990^\circ\) steht der Zeiger an derselben Stelle, der Sinus ist jedes Mal \(-1\).
Allgemein: alle \(360^\circ\) wiederholt sich alles
Das gilt für jeden Winkel und alle drei Winkelfunktionen. Eine volle Umdrehung ist \(360^\circ\) bzw. \(2\pi\).
- Sinus:\(\sin(x+360^\circ)=\sin(x)\) bzw. \(\sin(x+2\pi)=\sin(x)\).
- Cosinus:\(\cos(x+360^\circ)=\cos(x)\) bzw. \(\cos(x+2\pi)=\cos(x)\).
- Tangens:\(\tan(x+360^\circ)=\tan(x)\) bzw. \(\tan(x+2\pi)=\tan(x)\).
Wiederholung: \(f(x+2\pi)=f(x)\) für \(f=\sin,\ \cos,\ \tan\)
Allgemeine Hinweise
Gegen- oder Ankathete?
Entscheidend ist, wo der Winkel \(\alpha\) liegt. Die Gegenkathete liegt ihm gegenüber, die Ankathete berührt ihn.
Division durch null
Bei \(90^\circ\) und \(270^\circ\) ist \(\cos(\alpha)=0\). Dort gibt es keinen Tangenswert.
Achsen im Kopf
Stell dir den Zeiger auf den Achsen vor. Die Werte \(0\), \(1\) und \(-1\) liest du dann direkt ab.