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sin(x) und cos(x)

Sinus und Cosinus sind dieselbe Welle — nur gegeneinander versetzt. Schiebst du die Cosinuskurve um ein halbes Pi nach rechts, liegt sie genau auf der Sinuskurve.

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Beide Kurven in einem Schaubild

Im selben Koordinatensystem zeigen \(\sin(x)\) und \(\cos(x)\) dieselbe Wellenform. Die Cosinuskurve ist der Sinuskurve immer ein Stück voraus.

Sinus und Cosinus mit den Verschiebungspfeilen
Von cos(x) nach sin(x): jeder Pfeil ist genau ½π langxy1−1012−1214π12π34ππ54π32π74π2πsin(x)cos(x)jeder grüne Pfeil verschiebt um ½π nach rechts

Jeder grüne Pfeil startet auf der blau gestrichelten Cosinuskurve und endet auf der roten Sinuskurve — auf gleicher Höhe und immer gleich weit rechts.

  • Hochpunkte:\(\cos(x)\) bei \(x=0\), \(\sin(x)\) bei \(x=\frac{1}{2}\pi\).
  • Nullstellen:\(\cos(x)\) bei \(x=\frac{1}{2}\pi\), \(\sin(x)\) entsprechend bei \(x=\pi\).
  • Tiefpunkte:\(\cos(x)\) bei \(x=\pi\), \(\sin(x)\) bei \(x=\frac{3}{2}\pi\).
  • Abstand:von jedem Punkt der Cosinuskurve waagerecht \(\frac{1}{2}\pi\) nach rechts liegt der passende Sinuspunkt.
Merke

Versatz: die Sinuskurve liegt überall \(\frac{1}{2}\pi\) rechts von der Cosinuskurve

Zieh den violetten Griff am Hochpunkt der Cosinuskurve nach rechts — mit Maus, Regler oder Pfeiltasten. Die rote Sinuskurve bleibt als Vergleich stehen.

Verschiebe-Regler

Die blaue Kurve gehört zu \(\cos(x-c)\). Der Wert \(c\) sagt, um wie viel du die Cosinuskurve nach rechts geschoben hast. Finde die Einstellung, bei der die blaue Kurve auf der roten verschwindet.

xy14π12π34π54π32π74ππ2π1−10c = 0sin(x)cos(x − c)eingerastet:cos(x − ½π) = sin(x)

Die blaue Kurve ist cos(x). Sie steht auf ihrer Ausgangslage.

Nur bei \(c=\frac{1}{2}\pi\) verschwindet die blaue Kurve ganz hinter der roten und rastet ein. Sonst bleibt ein Versatz.

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Die Verschiebung als Formel

Ein Parameter in der Klammer verschiebt eine Kurve waagerecht.

  • Minus in der Klammer:Verschiebung nach rechts.
  • Rechtsverschiebung:aus \(\cos(x)\) wird \(\cos\left(x-\frac{1}{2}\pi\right)\).
  • Ergebnis:diese Kurve deckt sich exakt mit \(\sin(x)\) — für jede Zahl \(x\), nicht nur näherungsweise.
Vor und nach der Verschiebung
Ausgangslage: die Cosinuskurve liegt links von der Sinuskurvexπ2π12π32π1−1sin(x)cos(x)um ½π nach rechts schiebenNach der Verschiebung: die Kurven decken sich vollständigxπ2π12π32π1−1cos(x − ½π) = sin(x)

Oben liegen die Kurven noch versetzt, unten decken sie sich vollständig — die verschobene Cosinuskurve ist die Sinuskurve.

Merke

Sinus und Cosinus: \(\cos\left(x-\tfrac{1}{2}\pi\right)=\sin(x)\)

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Den Merksatz an markanten Stellen nachprüfen

Setze links und rechts dieselbe Zahl für \(x\) ein und vergleiche.

  • x = 0:\(\cos\left(-\frac{1}{2}\pi\right)=0\) und \(\sin(0)=0\).
  • x = ½π:\(\cos(0)=1\) und \(\sin\left(\frac{1}{2}\pi\right)=1\).
  • x = π:\(\cos\left(\frac{1}{2}\pi\right)=0\) und \(\sin(\pi)=0\).
  • x = 3⁄2 π:\(\cos(\pi)=-1\) und \(\sin\left(\frac{3}{2}\pi\right)=-1\).
Merke

Ablesen: \(\sin(x)\) = Cosinuswert an der Stelle \(x-\frac{1}{2}\pi\)

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Allgemeine Hinweise

Richtung beachten

Ein Minus in der Klammer schiebt nach rechts, nicht nach links. Genau das verwechselt man leicht.

Nicht um π

Die Verschiebung beträgt \(\frac{1}{2}\pi\). Um \(\pi\) verschoben erhältst du \(-\cos(x)\).

Hochpunkte vergleichen

Der Cosinus-Hochpunkt liegt bei \(0\), der Sinus-Hochpunkt bei \(\frac{1}{2}\pi\). Daran erkennst du den Versatz sofort.

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