Die drei Parameter
Du untersuchst \(f(x)=a\cdot n^{x+b}+c\). Die Basis \(n\) bleibt fest, verändert wird immer nur ein Parameter.
- \(a\):steht als Faktor vor der Potenz.
- \(b\):steht im Exponenten, direkt beim \(x\).
- \(c\):wird ganz am Ende addiert.
- Vergleich:die Grundfunktion \(n^{x}\) bleibt als graue Kurve stehen.
Verändere zuerst nur \(a\), dann nur \(b\), dann nur \(c\) und vergleiche die violette Kurve mit der grauen Kurve \(2^{x}\). „Zurücksetzen“ bringt dich zur Ausgangslage.
Parameter-Labor
f(x) = 1 · 2x + 0 + 0
a = 1, b = 0, c = 0: Die Kurve stimmt genau mit der Grundfunktion 2^x überein. Ihre Asymptote ist die x-Achse.
Halte fest: Die grüne Asymptote bewegt sich nur mit \(c\). Ein negatives \(a\) klappt die Kurve an der Asymptote nach unten.
Der Einfluss der drei Parameter
Jeder Parameter verändert den Graphen auf seine eigene Art.
| Parameter | Einfluss auf \(f(x)\) |
|---|---|
| \(a\) | Streckung in \(y\)-Richtung. Für \(|a|>1\) wird der Graph gestreckt, für \(0<|a|<1\) gestaucht. Ist \(a<0\), wird der Graph zusätzlich an der Asymptote gespiegelt und fällt statt zu steigen. Der Punkt \((0\,|\,1)\) wandert auf \((0\,|\,a)\). Die Asymptote bleibt liegen. |
| \(b\) | Verschiebung in \(x\)-Richtung. Für \(b>0\) wandert der Graph um \(b\) nach links, für \(b<0\) um \(|b|\) nach rechts. Die Form bleibt unverändert, die Asymptote ebenfalls. |
| \(c\) | Verschiebung in \(y\)-Richtung um \(c\) nach oben (bei \(c<0\) nach unten). Dabei wandert auch die waagerechte Asymptote mit: Sie liegt nicht mehr bei \(y=0\), sondern bei \(y=c\). |
Asymptote: \(f(x)=a\cdot n^{x+b}+c\) hat die waagerechte Asymptote \(y=c\)
Zusatz: \(2^{x}\) und \(3^{x}\) im Vergleich
Mit \(a=1\), \(b=0\) und \(c=0\) steckt der Unterschied allein in der Basis.
- Gemeinsam:beide gehen durch \((0\,|\,1)\), steigen streng monoton und haben die \(x\)-Achse als Asymptote.
- Rechts:für \(x>0\) liegt \(3^{x}\) oberhalb, z. B. \(3^{2}=9\) gegenüber \(2^{2}=4\).
- Links:für \(x<0\) liegt \(3^{x}\) näher an der \(x\)-Achse, denn \(3^{-2}=\frac{1}{9}<\frac{1}{4}=2^{-2}\).
Allgemeine Hinweise
Vorzeichen bei \(b\)
\(2^{x+3}\) ist um \(3\) nach links verschoben. Plus im Exponenten heißt links.
\(a\) verschiebt nicht
Der Vorfaktor streckt nur in \(y\)-Richtung. Die Asymptote \(y=c\) bleibt dabei liegen.
Schnell skizzieren
Zeichne zuerst die Asymptote \(y=c\) ein. Für \(x=-b\) gilt dann \(f(x)=a+c\).