Nur die Basis verändern
Du untersuchst \(f(x)=n^{x}\), also mit \(a=1\), für \(n=1,\dots,15\): Was ändert sich, was bleibt gleich?
- Globalverhalten:Wie verläuft der Graph ganz links und ganz rechts?
- Symmetrie:achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung?
- Besondere Punkte:Gibt es Punkte, durch die jeder Graph geht? Gibt es Nullstellen?
Ziehe den Regler von \(n=1\) bis \(n=15\) und beobachte, was sich verändert. Mit dem zweiten Schalter machst du die Basis negativ.
Schieberegler für die Basis n
Für n = 2 steigt der Graph. Links nähert er sich der x-Achse, rechts wächst er über alle Grenzen.
Halte fest: Jeder Graph geht durch \((0\,|\,1)\) und liegt über der \(x\)-Achse. Je größer \(n\), desto steiler steigt er — nur \(n=1\) fällt aus der Reihe.
Die Eigenschaften in der Tabelle
Es gibt genau zwei Fälle: den Sonderfall \(n=1\) und alle Basen \(n=2,3,\dots,15\).
| n | Globalverhalten | Symmetrie | Besondere Punkte | Graph der Funktion |
|---|---|---|---|---|
| \(n=1\) | Konstant: \(1^{x}=1\) für jedes \(x\). Der Graph steigt und fällt nirgends. | Achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. | Alle Punkte liegen auf der Höhe 1, also auch \((0\,|\,1)\). Keine Nullstelle. | |
| \(n>1\) (\(n=2,\dots,15\)) | Streng monoton steigend. Für \(x\to-\infty\) geht \(f(x)\to 0\), die \(x\)-Achse ist waagerechte Asymptote. Für \(x\to+\infty\) wächst \(f(x)\) über alle Grenzen. | Keine: weder achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung. | \((0\,|\,1)\) für jedes \(n\), außerdem \((1\,|\,n)\). Keine Nullstelle, denn \(n^{x}>0\) für alle \(x\). |
\(f(x)=n^{x}\) mit \(n>1\): streng monoton steigend, \(f(x)>0\), durch \((0\,|\,1)\) und \((1\,|\,n)\), \(x\)-Achse als Asymptote
Zusatz: Warum es für negative Basen keinen Graphen gibt
Setze \(n=-2\) ein und rechne einige Werte aus.
- Ganze \(x\):\((-2)^{1}=-2\), \((-2)^{2}=4\), \((-2)^{3}=-8\) — die Werte springen zwischen negativ und positiv.
- \(x=0{,}5\):\((-2)^{0,5}=\sqrt{-2}\) existiert nicht.
- Ergebnis:nur einzelne Punkte statt einer Kurve — deshalb wird \(n>0\) gefordert.
Allgemeine Hinweise
Asymptote, keine Nullstelle
Der Graph kommt der \(x\)-Achse beliebig nahe, erreicht sie aber nie. Wegen \(n^{x}>0\) gibt es keine Nullstelle.
Keine Symmetrie
\(n^{x}\) ist weder achsen- noch punktsymmetrisch. Links verläuft der Graph flach, rechts steil.
Punkt \((1\,|\,n)\)
Bei \(x=1\) liest du die Basis direkt ab. Zusammen mit \((0\,|\,1)\) reicht das für eine schnelle Skizze.