MINT lernen

Wurzelfunktionen

Steht im Exponenten ein Bruch, wird aus der Potenz eine Wurzel. Der Graph liegt dann ganz im ersten Quadranten — und ist das Spiegelbild einer altbekannten Kurve.

1

Die Quadratwurzelfunktion

Erlaubst du im Exponenten einer Potenzfunktion auch Brüche, entstehen Wurzelfunktionen. Der wichtigste Fall ist der Exponent \(n=\frac{1}{2}\).

Der Graph von \(f(x)=x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}\)
123456789123xy(1 | 1)(4 | 2)(9 | 3)Der Graph beginnt im Ursprung – links davon gibt es ihn nicht.f(x) = √xDefinitionsmenge: x ≥ 0

Die Kurve steigt zuerst sehr steil an und wird dann immer flacher. Für die Quadratzahlen \(1\), \(4\) und \(9\) liest man die Funktionswerte \(1\), \(2\) und \(3\) ab.

  • Exponent:\(n=\frac{1}{2}\) — ein Bruch, keine ganze Zahl.
  • Schreibweisen:\(x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}\); beide Formen bedeuten dasselbe.
  • Definitionsmenge:\(D=\mathbb{R}_{0}^{+}\), also alle \(x\ge 0\) — kein Quadrat ist negativ.
  • Verlauf:Start im Ursprung \(O(0\,|\,0)\), streng steigend, nach rechts immer flacher.
Merke

Quadratwurzelfunktion: \(f(x)=x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}\) mit \(x\ge 0\)

2

Die Kubikwurzelfunktion

Mit dem Exponenten \(n=\frac{1}{3}\) entsteht die dritte Wurzel, die Kubikwurzel.

Quadratwurzel und Kubikwurzel im Vergleich
123456789123xy(1 | 1)(4 | 2)(8 | 2)f(x) = √xg(x) = ∛xBeide Kurven starten im Ursprung und gehen durch (1 | 1).

Beide Kurven beginnen im Ursprung und gehen durch \((1\,|\,1)\). Für \(x>1\) liegt der Graph der Kubikwurzelfunktion unterhalb des Graphen der Quadratwurzelfunktion.

  • Kubikwurzel:\(x^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{x}\), z. B. \(\sqrt[3]{8}=2\), denn \(2^{3}=8\).
  • Muster:Der Nenner des Exponenten wird zum Wurzelexponenten.
  • Gemeinsame Punkte:beide Kurven gehen durch \((0\,|\,0)\) und \((1\,|\,1)\).
  • Vergleich:rechts von \(x=1\) steigt \(\sqrt[3]{x}\) flacher — den Wert \(2\) erreicht \(\sqrt{x}\) bei \(x=4\), \(\sqrt[3]{x}\) erst bei \(x=8\).
  • Definitionsmenge:im Kurs ebenfalls \(x\ge 0\), damit beide Wurzelfunktionen dieselbe haben.
Merke

Wurzelfunktion: \(x^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{x}\) mit \(x\ge 0\)

3

Die Wurzelfunktion als Umkehrfunktion

Die Wurzelkurve ist das Spiegelbild der Parabel \(y=x^{2}\) für \(x\ge 0\) an der Winkelhalbierenden \(y=x\).

\(x^{2}\), die Winkelhalbierende \(y=x\) und \(\sqrt{x}\)
12312xyy = x(1,5 | 2,25)(2,25 | 1,5)(1 | 1)f₁(x) = x²f₂(x) = √xSpiegelung an der Winkelhalbierenden y = x

Beide Kurven schneiden die Winkelhalbierende in \((0\,|\,0)\) und \((1\,|\,1)\) und liegen spiegelbildlich zu ihr.

  • Spiegelachse:die Winkelhalbierende \(y=x\).
  • Bildpunkt:zu \(P(a\,|\,b)\) auf \(y=x^{2}\) gehört \(P'(b\,|\,a)\) auf \(y=\sqrt{x}\).
  • Einschränkung:nur der rechte Parabelast \(x\ge 0\) wird gespiegelt — sonst gäbe es zu einem \(x\) zwei Wurzelwerte.
  • Feste Punkte:\((0\,|\,0)\) und \((1\,|\,1)\) liegen auf der Spiegelachse.
  • Beispiel:aus \(5=\sqrt{x}\) folgt durch Quadrieren \(x=5^{2}=25\).

Ziehe den orangen Punkt \(P\) auf der blauen Potenzkurve und beobachte den grünen Bildpunkt \(P'\). Mit den Schaltflächen wechselst du zwischen \(x^{2}\) mit \(\sqrt{x}\) und \(x^{3}\) mit \(\sqrt[3]{x}\).

Umkehr-Spiegel

Der orange Punkt \(P\) läuft auf der Potenzkurve, der grüne Punkt \(P'\) auf der zugehörigen Wurzelkurve. Ziehen mit der Maus, mit dem Regler oder — nach dem Anklicken von \(P\) — mit den Pfeiltasten.

123123xyy = xf(x) = x² und f(x) = √xAblesetafelPunkt P auf der Potenzkurve—Bildpunkt P′ auf der Wurzelkurve—Nachrechnen—Was hat sich geändert?—

Halte fest: \(P\) und \(P'\) liegen spiegelbildlich zu \(y=x\) — ihre Koordinaten sind nur vertauscht.

Merke

Umkehrfunktion: \(f(x)=\sqrt{x}\) ist die Umkehrfunktion von \(f(x)=x^{2}\) für \(x\ge 0\)

4

Allgemeine Hinweise

Nur \(x\ge 0\)

Aus einer negativen Zahl gibt es keine Quadratwurzel. Der Graph von \(\sqrt{x}\) beginnt deshalb im Ursprung.

Bruch im Exponenten

\(x^{\frac{1}{2}}\) ist nicht \(\frac{1}{2}x\). Der Bruch im Exponenten steht für eine Wurzel.

Umkehrung nutzen

Fehlt die \(x\)-Koordinate, potenzierst du. Aus \(\sqrt[3]{x}=5\) folgt \(x=5^{3}=125\).

Videos