MINT lernen

Eigenschaften: neg. Exponent

Zwei getrennte Äste, eine verbotene Stelle und zwei Geraden, die nie erreicht werden: Ob der Exponent gerade oder ungerade ist, entscheidet über das ganze Bild.

1

Gerade und ungerade Exponenten

Auch bei \(f(x)=x^{-n}\) entscheidet der Exponent, welche der zwei Graphenformen entsteht.

Gerade und ungerade Exponenten im Vergleich
Rot gestrichelt: die beiden Asymptoten — rot beschriftet: die QuadrantenGerade Exponenten−3−2−1231357xyP(1|1)Q(−1|1)IIIy = x⁻²y = x⁻⁴y = x⁻⁶Ungerade Exponenten−3−2−123−3−113xyP(1|1)R(−1|−1)IIIIIIIVy = x⁻¹y = x⁻³y = x⁻⁵

Links liegen beide Äste oben, rechts liegt ein Ast oben rechts und einer unten links. Gemeinsam ist beiden Bildern: An der \(y\)-Achse geht es steil weg, nach außen legen sich die Kurven flach an die \(x\)-Achse.

  • Punkte:immer \(P(1\,|\,1)\); gerade: \(Q(-1\,|\,1)\), ungerade: \(R(-1\,|\,-1)\).
  • Quadranten:gerade: I und II; ungerade: I und III.
  • Monotonie:gerade: steigt für \(x<0\), fällt für \(x>0\); ungerade: fällt auf beiden Ästen.
  • Symmetrie:gerade: achsensymmetrisch, \(f(-x)=f(x)\); ungerade: punktsymmetrisch, \(f(-x)=-f(x)\).
  • Steilheit:je größer \(n\), desto höher liegt der Graph nahe der Polstelle und desto flacher außerhalb von \([-1;\,1]\).
  • Definitionsmenge:immer \(D_{f}=\mathbb{R}\setminus\{0\}\).
Merke

Wertemenge von \(x^{-n}\): \(W_{f}=\mathbb{R}^{+}\) (\(n\) gerade), \(W_{f}=\mathbb{R}\setminus\{0\}\) (\(n\) ungerade)

2

Verhalten am Rand

Zwei Fragen fehlen noch: Was passiert dicht neben der Null und was weit draußen?

  • Polstelle, gerade:beide Äste wachsen über jede Grenze: \(f(x)\to+\infty\).
  • Polstelle, ungerade:links \(f(x)\to-\infty\), rechts \(f(x)\to+\infty\).
  • Weit draußen:für \(x\to\pm\infty\) gilt \(f(x)\to0\).
  • Asymptoten:senkrecht \(x=0\), waagerecht \(y=0\).
  • Wert 0:ein Bruch mit Zähler 1 ist nie null — \(0\) wird nie angenommen.

Schiebe den Punkt langsam Richtung Null und danach weit nach außen. Behalte die Zahlen im Blick.

Asymptoten-Explorer

Ein Punkt wandert auf dem Graphen von \(f(x)=x^{-n}\). Die beiden Asymptoten sind rot gestrichelt eingezeichnet.

−3−2−1123−4−224xyf(x) = x⁻¹senkrechte Asymptote x = 0waagerechte Asymptote y = 0Was gerade passiert

Halte fest: der Funktionswert wird riesig oder winzig, aber nie unendlich und nie null. Bei \(x=0\) gibt es keinen Punkt.

Merke

Grenzverhalten: \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}x^{-n}=0\)

3

Punkte und Exponenten bestimmen

Mit den Eigenschaften bestimmst du fehlende Koordinaten und Exponenten ohne GTR.

  • Fehlender \(y\)-Wert:einsetzen: \(y=\frac{1}{x^{2}}\), \(x=-\frac{1}{3}\) ergibt \(y=\frac{1}{1/9}=9\).
  • Fehlender \(x\)-Wert:\(16=\frac{1}{x^{2}}\Rightarrow x^{2}=\frac{1}{16}\Rightarrow x=\pm\frac{1}{4}\).
  • Exponent gesucht:\(P(2\,|\,\frac{1}{8})\): \(2^{n}=\frac{1}{8}=2^{-3}\), also \(n=-3\).
  • Echter Bruch:bei einer Basis größer als 1 zeigt er einen negativen Exponenten an.
  • Zeichnen:die beiden Äste getrennt zeichnen und den Stift an der \(y\)-Achse absetzen.

Schalte zwischen den beiden Zeichnungen von \(f(x)=x^{-2}\) um und entscheide, welche richtig ist.

Zwei Äste, keine Brücke

Dieselbe Funktion, zwei Zeichnungen — eine davon behauptet etwas Falsches über die Stelle \(x=0\).

−2−1122468xDarstellung: getrenntf(x) = x⁻²

Halte fest: die verbundene Zeichnung behauptet fälschlich, dass \(f(0)\) existiert — genau das passiert beim Abzeichnen vom Rechner leicht.

Valentins Zeichnung und die richtige Darstellung
Zweimal derselbe Graph zu f(x) = x⁻² — einmal falsch, einmal richtigSo steht es in Valentins Heft−2−1122468xhier verbundenf(x) = x⁻²So ist es richtig−2−1122468xx = 0 fehltf(x) = x⁻²

Der Unterschied steckt allein über der \(y\)-Achse: links eine durchgezogene Spitze, rechts zwei Äste, die getrennt weiterlaufen.

Merke

Exponent bestimmen: \(a^{n}=\frac{1}{a^{k}}\;\Rightarrow\;n=-k\)

4

Allgemeine Hinweise

Null nie einsetzen

\(x=0\) gehört nicht zur Definitionsmenge. Dort gibt es keinen Funktionswert.

Zwei Lösungen

Bei geradem Exponenten liefert jeder positive \(y\)-Wert zwei Stellen. Aus \(\frac{1}{x^{2}}=16\) folgt \(x=\pm\frac{1}{4}\).

Blick auf x = −1

Liegt der Graph bei \(x=-1\) oberhalb der \(x\)-Achse, ist der Exponent gerade. Liegt er darunter, ist er ungerade.

Videos