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Punkte von Potenzfunktionen

Ob ein Punkt auf einem Graphen liegt, entscheidest du mit einer einzigen Rechnung. Und wenn du umgekehrt zu einem Wert die passende Stelle suchst, gibt es bei geradem Exponenten gleich zwei Antworten.

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Wann liegt ein Punkt auf dem Graphen?

Ein Punkt gehört zum Graphen, wenn die Funktion an seiner Stelle genau seinen \(y\)-Wert liefert.

  • Bedingung:\(P(x_{0}\,|\,y_{0})\) liegt auf dem Graphen von \(f\), wenn \(y_{0}=f(x_{0})\) gilt.
  • Sonst:ist \(y_{0}\neq f(x_{0})\), liegt der Punkt über oder unter dem Graphen.
  • Typ 1:beide Koordinaten gegeben — Punktprobe.
  • Typ 2:Stelle \(x_{0}\) gegeben — Funktionswert berechnen.
  • Typ 3:Wert \(y_{0}\) gegeben — Stelle über die Wurzel bestimmen.
Drei Punkte, ein Graph
xy-2-112-8-4480f(x) = x³P(2 | 8)liegt auf fR(2 | 4)liegt darunterS(−1 | 3)liegt darüber

Alle drei Punkte gehören zur Stelle \(2\) beziehungsweise \(-1\). Nur P sitzt genau auf der Kurve, R liegt darunter und S darüber. Entschieden wird das nicht nach Augenmaß, sondern durch Nachrechnen.

Die drei Typen nebeneinander
Drei Grundaufgaben — erkennbar daran, was gegeben und was gesucht ist1Punktprobegegebenx und ygesuchtja oder neineinsetzen und vergleichenLiegt P(2|8) auf x³?Beispiel2Wert gesuchtgegebendie Stelle xgesuchtder Wert yeinsetzen und ausrechnenf(−3) = (−3)³ = −27Beispiel3Stelle gesuchtgegebender Wert ygesuchtdie Stelle xWurzel ziehen, ± beachtenx⁴ = 4 ⇒ x = ±1,41Beispiel

Zwei Koordinaten gegeben heißt Punktprobe. Nur die erste Koordinate heißt einsetzen. Nur die zweite Koordinate heißt Wurzel ziehen — und dann an das Vorzeichen denken.

Merke

Punkt auf dem Graphen: \(P(x_{0}\,|\,y_{0})\) liegt auf dem Graphen von \(f\) \(\Leftrightarrow\) \(y_{0}=f(x_{0})\)

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Punktprobe und Einsetzen

Bei Typ 1 und Typ 2 setzt du die Stelle in den Funktionsterm ein und rechnest aus.

  • Punktprobe:einsetzen, ausrechnen, mit \(y_{0}\) vergleichen und als Satz antworten.
  • Beispiel:\(P(2\,|\,8)\), \(f(x)=x^{3}\): \(f(2)=8\), also \(8=8\) — \(P\) liegt auf dem Graphen.
  • Negative Stelle:immer mit Klammer einsetzen: \(f(-3)=(-3)^{3}=-27\).
  • Minus vor der Potenz:\(-x^{5}\) heißt \(-(x^{5})\); bei \(x=-3\): \(-(-243)=243\).
  • GTR:Funktionswert im Grafikmenü über G-Solv › Y-CAL abfragen.
Punktprobe in drei Schritten
Die Punktprobe in drei Schritten — einmal mit wahrem, einmal mit falschem Ergebnis1. Punkt und FunktionP(2 | 8)f(x) = x³einsetzen2. x-Wert einsetzenf(2) = 2³ = 8vergleichen3. Vergleich8 = 8 wahrP liegt auf dem Graphen1. Punkt und FunktionQ(−2 | 4)g(x) = x⁴einsetzen2. x-Wert einsetzeng(−2) = (−2)⁴ = 16vergleichen3. Vergleich16 ≠ 4 falschQ liegt nicht auf dem Graphen

Oben eine wahre Aussage: Der Punkt liegt auf dem Graphen. Unten eine falsche Aussage — der berechnete Wert \(16\) und die zweite Koordinate \(4\) passen nicht zusammen.

Einsetzen an einer negativen Stelle
Ist die Stelle bekannt, liefert das Einsetzen sofort den Funktionswertgegeben: die Stellex = −3f(x) = x³einsetzenRechnung mit Klammerf(−3) = (−3)³ = −27ohne Klammer stünde da −3³ = −(3·3·3)notierengesucht: der Werty = −27P(−3 | −27)Die erste Koordinate ist die Stelle, die zweite der Funktionswert.

Die Klammer ist nicht optional. Ohne sie stünde da \(-3^{3}\), und das bedeutet \(-(3\cdot 3\cdot 3)\) — bei ungeradem Exponenten kommt hier zufällig dasselbe heraus, bei geradem Exponenten aber nicht.

Wähle eine Funktion, setze einen Punkt und lies ab, wie die Punktprobe ausgeht.

Punktprobe-Prüfer

Klicke ins Gitter, um den roten Punkt zu setzen. Mit den Pfeiltasten verschiebst du ihn um jeweils eine halbe Einheit — klicke dazu vorher einmal in die Zeichnung.

xy-2-112-8-6-4-224680f(x) = x²P(1 | 1)f(1) = 1
Stelle x2
y des Punktes8
f(x)8

Halte fest: \(O(0\,|\,0)\) und \(P(1\,|\,1)\) bestehen die Probe bei jeder Funktion; ein zufällig gesetzter Punkt fast nie.

Merke

Potenz vor Vorzeichen: \(-x^{n}=-(x^{n})\)

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Die Stelle ist gesucht

Bei Typ 3 wird aus \(y_{0}=f(x_{0})\) die Gleichung \(x^{n}=c\), die du mit der \(n\)-ten Wurzel löst.

  • Ungerades \(n\):genau eine Lösung, z. B. \(x^{3}=4\Rightarrow x=\sqrt[3]{4}\approx1{,}59\); bei \(c<0\) ist sie negativ.
  • Gerades \(n\), \(c>0\):zwei Lösungen, z. B. \(x^{4}=4\Rightarrow x=\pm\sqrt[4]{4}\approx\pm1{,}41\).
  • Gerades \(n\), \(c\le 0\):bei \(c=0\) nur \(x=0\), bei \(c<0\) keine Lösung.
  • Grund:eine Waagerechte schneidet den Graphen bei geradem \(n\) zweimal, bei ungeradem einmal.
  • Sachaufgabe:eine negative Lösung, die keinen Sinn ergibt, mit Begründung verwerfen.
  • GTR:Stellen zu einem Wert über G-Solv › X-CAL; mit den Pfeiltasten zur zweiten Lösung.
Einmal schneiden, zweimal schneiden
Dieselbe Frage, zwei verschiedene Antworten: Wo hat die Funktion den Wert 4?xy-2-112-4-22460y = 4x³1,59genau eine Lösung: x = ³√4 ≈ 1,59xy-2-112-4-22460y = 4x⁴-1,411,41zwei Lösungen: x = ±⁴√4 ≈ ±1,41

Links \(x^{3}=4\) mit der einzigen Lösung \(\sqrt[3]{4}\approx 1{,}59\). Rechts \(x^{4}=4\) mit den beiden Lösungen \(\pm\sqrt[4]{4}\approx\pm 1{,}41\) — die gestrichelte Waagerechte trifft die Kurve an zwei Stellen.

Stelle einen Exponenten ein und ziehe die Waagerechte \(y=c\) langsam von unten nach oben.

Rückwärts rechnen

Die rote Waagerechte hat die Höhe \(c\). Ihre Schnittpunkte mit dem Graphen sind genau die Lösungen der Gleichung \(x^{n}=c\).

xy-2-112-6-4-22460y = 4f(x) = x³
Exponent n4
Höhe c4
Lösungen2

Halte fest: bei geradem \(n\) gibt es für \(c<0\) keinen, für \(c=0\) einen und für \(c>0\) zwei Schnittpunkte; bei ungeradem \(n\) immer genau einen.

Merke

Gerader Exponent: \(x^{n}=c\) mit \(c>0\) \(\Rightarrow\) \(x=\pm\sqrt[n]{c}\)

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Allgemeine Hinweise

Nicht nach Augenmaß

Ein Punkt kann dicht an der Kurve liegen und trotzdem nicht dazugehören. Nur die Punktprobe entscheidet.

Das ± nicht vergessen

Bei geradem Exponenten gibt es zwei Lösungen. Wer nur die positive nennt, hat die Aufgabe halb gelöst.

Typ erkennen

Zähle die gegebenen Koordinaten. Zwei bedeuten Punktprobe, eine bedeutet einsetzen oder Wurzel ziehen.

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