Diese zwölf Fehler tauchen in Klausuren zu Kapitel 2 immer wieder auf. Fast alle gehen auf zwei Ursachen zurück: Entweder wird eine Regel auf eine Situation übertragen, für die sie gar nicht gilt, oder der Definitionsbereich wird ignoriert. Lies die Liste einmal ganz durch — wer einen Fehler kennt, macht ihn deutlich seltener.
Die zwölf häufigsten Fehler
1Potenzfunktion und Exponentialfunktion verwechselt
Falsch: \(f(x)=x^{3}\) und \(g(x)=3^{x}\) werden als „dasselbe mit vertauschten Zahlen“ behandelt. Für \(x=10\) wird dann \(g(10)=1000\) angegeben.
Richtig: Bei \(x^{3}\) steht die Variable in der Basis, der Exponent ist fest — das ist eine Potenzfunktion. Bei \(3^{x}\) steht die Variable im Exponenten, die Basis ist fest — das ist eine Exponentialfunktion. Es gilt \(10^{3}=1000\), aber \(3^{10}=59\,049\).
Merksatz: Erst schauen, wo das x steht — unten in der Basis oder oben im Exponenten. Diese eine Frage entscheidet über die ganze Funktionsklasse.2Negativer Exponent als Minuszeichen vor der Funktion gelesen
Falsch: \(x^{-2}\) wird zu \(-x^{2}\) umgeschrieben. Für \(x=3\) kommt dann \(-9\) heraus.
Richtig: Ein negativer Exponent bedeutet Kehrwert, nicht Vorzeichenwechsel: \(x^{-2}=\frac{1}{x^{2}}\). Für \(x=3\) ist also \(3^{-2}=\frac{1}{9}\approx 0{,}11\) — ein kleiner positiver Wert. Bei geradem Exponenten ist \(x^{-n}\) sogar für jedes \(x\neq 0\) positiv.
Merksatz: Das Minus im Exponenten stürzt den Bruch, es dreht kein Vorzeichen um.3Den Graphen über die Polstelle hinweg durchgezogen
Falsch: Der Graph von \(f(x)=x^{-2}\) wird als eine einzige durchgehende Kurve gezeichnet, die die \(y\)-Achse überquert. Manchmal wird sogar ein Funktionswert \(f(0)\) angegeben.
Richtig: Wegen \(f(x)=\frac{1}{x^{2}}\) stünde bei \(x=0\) eine Null im Nenner. Deshalb ist \(D_{f}=\mathbb{R}\setminus\{0\}\), und der Graph besteht aus zwei getrennten Ästen. Die Gerade \(x=0\) ist eine senkrechte Asymptote: Die Äste nähern sich ihr beliebig nah an, berühren sie aber nie.
Merksatz: Der Definitionsbereich ist keine Formsache, sondern eine Anweisung an die Zeichnung — wo nichts definiert ist, wird nichts gezeichnet.4Periode mit \(2\pi\cdot b\) statt \(\frac{2\pi}{b}\) berechnet
Falsch: Für \(f(x)=\sin(2x)\) wird die Periode als \(p=2\pi\cdot 2=4\pi\) angegeben, für \(g(x)=\sin\left(\frac{1}{2}x\right)\) als \(p=\pi\).
Richtig: Es gilt \(p=\frac{2\pi}{b}\). Also \(p=\frac{2\pi}{2}=\pi\) für \(\sin(2x)\) und \(p=\frac{2\pi}{0{,}5}=4\pi\) für \(\sin\left(\frac{1}{2}x\right)\). Ein größeres \(b\) staucht die Kurve, ein kleineres streckt sie.
Merksatz: Alles, was direkt am x steht, wirkt umgekehrt auf den Graphen. Verdoppeltes b heißt halbe Periode.5Der GTR rechnet im falschen Winkelmaß
Falsch: \(\sin(\pi)\) wird eingetippt und der Rechner zeigt \(0{,}0548\dots\) an. Das Ergebnis wird ungeprüft übernommen.
Richtig: Der Rechner stand im Gradmaß und hat \(\sin(3{,}14^{\circ})\) berechnet. Sobald in einer Aufgabe \(\pi\) im Argument steht, muss der GTR auf RAD stehen; dann ist \(\sin(\pi)=0\). Umgekehrt gehört bei \(\sin(30^{\circ})=0{,}5\) der Modus DEG.
Merksatz: Steht ein π in der Aufgabe, steht RAD im Rechner. Eine Kontrollrechnung wie sin(π) = 0 deckt den Fehler in fünf Sekunden auf.6Gegenkathete und Ankathete vertauscht
Falsch: Im Dreieck mit den Seiten \(3\), \(4\) und \(5\) wird \(\sin\alpha=\frac{4}{5}\) angegeben, weil die Seite mit der Länge 4 „direkt danebenliegt“.
Richtig: Die Gegenkathete liegt dem Winkel \(\alpha\) gegenüber, die Ankathete bildet einen Schenkel des Winkels. Hier ist also \(\sin\alpha=\frac{3}{5}=0{,}6\) und \(\cos\alpha=\frac{4}{5}=0{,}8\). Die Hypotenuse liegt immer dem rechten Winkel gegenüber und ist die längste Seite.
Merksatz: Erst den Winkel markieren, dann die Seiten benennen — dieselbe Seite kann für den anderen Winkel die andere Rolle haben.7Sinus- oder Cosinuswerte größer als 1 angegeben
Falsch: Aus einer umgestellten Gleichung folgt \(\sin\alpha=1{,}4\); der Winkel wird dann mit \(\sin^{-1}(1{,}4)\) „berechnet“ und ein Rechnerfehler vermutet.
Richtig: Es gilt immer \(-1\le\sin\alpha\le 1\) und \(-1\le\cos\alpha\le 1\), weil im rechtwinkligen Dreieck die Hypotenuse die längste Seite ist. Ein Wert über 1 ist deshalb ein sicheres Zeichen für einen Rechenfehler weiter oben — meist eine falsch aufgestellte Gleichung. Nur der Tangens darf beliebig groß werden.
Merksatz: |sin| und |cos| kommen nie über 1. Diese Schranke ist die beste Selbstkontrolle in jeder Trigonometrie-Aufgabe.8„Die Exponentialkurve schneidet irgendwann die x-Achse“
Falsch: Weil \(2^{-10}=0{,}0009\dots\) „praktisch null“ ist, wird eine Nullstelle bei etwa \(x=-10\) angegeben.
Richtig: Eine Potenz mit positiver Basis ist immer echt positiv: \(2^{x}>0\) für jedes \(x\in\mathbb{R}\). Die Funktion \(f(x)=2^{x}\) hat also keine Nullstelle. Die \(x\)-Achse ist eine waagerechte Asymptote — der Abstand wird beliebig klein, aber nie null.
Merksatz: Sehr klein ist nicht null. Asymptote heißt: annähern, nicht erreichen.9Prozentuale Abnahme falsch in den Wachstumsfaktor übersetzt
Falsch: Bei einer jährlichen Abnahme um \(20\ \%\) wird \(q=0{,}2\) gesetzt — oder \(q=-0{,}2\), oder es wird \(20\) vom Bestand subtrahiert.
Richtig: Bei einer Abnahme um \(20\ \%\) bleiben \(80\ \%\) übrig, also \(q=1-0{,}20=0{,}8\). Allgemein gilt \(q=1+\frac{p}{100}\), bei Zunahme um \(8\ \%\) also \(q=1{,}08\). Mit \(q=0{,}2\) wäre nach einem Jahr nur noch ein Fünftel übrig — das wären \(80\ \%\) Verlust statt \(20\ \%\).
Merksatz: q ist immer der Anteil, der übrig bleibt — nicht der Anteil, der wegfällt.10Beim Logarithmieren den Vorfaktor mitgenommen
Falsch: Aus \(5\cdot 2^{x}=160\) wird direkt \(x=\log_{2}(160)\approx 7{,}32\) gefolgert.
Richtig: Der Logarithmus darf erst angewendet werden, wenn die Potenz allein steht. Also zuerst durch 5 teilen: \(2^{x}=32\), und erst dann \(x=\log_{2}(32)=5\). Probe: \(5\cdot 2^{5}=5\cdot 32=160\) ✓, während \(5\cdot 2^{7{,}32}\approx 800\) wäre.
Merksatz: Erst isolieren, dann logarithmieren — genau wie beim Wurzelziehen erst die Potenz freistellen.11Eine Summenregel für den Logarithmus erfunden
Falsch: Es wird \(\log(a+b)=\log(a)+\log(b)\) verwendet, etwa \(\log(2+8)=\log(2)+\log(8)\).
Richtig: Der Logarithmus verwandelt Produkte in Summen, nicht Summen in Summen: \(\log(a\cdot b)=\log(a)+\log(b)\). Gegenbeispiel: \(\log_{10}(2+8)=\log_{10}(10)=1\), aber \(\log_{10}(2)+\log_{10}(8)\approx 0{,}30+0{,}90=1{,}20\). Für eine Summe im Argument gibt es keine Vereinfachung.
Merksatz: Mal wird plus, plus bleibt plus. Wer sich unsicher ist, prüft die Regel schnell mit kleinen Zahlen nach.12Logarithmus von 0 oder von negativen Zahlen gebildet
Falsch: In einer Rechnung taucht \(\log_{2}(0)\) oder \(\log_{2}(-8)\) auf; der GTR meldet einen Fehler, der als Bedienfehler abgetan wird.
Richtig: \(\log_{a}(b)\) fragt nach dem Exponenten mit \(a^{c}=b\). Eine Potenz einer positiven Basis ist immer positiv — für \(b\le 0\) gibt es also kein passendes \(c\). Deshalb ist \(D_{f}=\mathbb{R}^{+}\). Das ist genau die gespiegelte Aussage zur Asymptote \(y=0\) der Exponentialfunktion.
Merksatz: Der Logarithmus verlangt ein positives Argument. Taucht eine 0 oder eine negative Zahl auf, steckt der Fehler eine Zeile vorher.Und jetzt?
Wenn du einen dieser Fehler bei dir wiedererkannt hast, geh gezielt zurück: Die Zusammenfassung ordnet die Regeln neu, der Selbsttest zeigt dir themenweise, wo es noch hakt, und in den AFB-II-Übungen tauchen genau diese Stolperstellen wieder auf — dann aber vorbereitet.