Potenzfunktionen — Parameter und Eigenschaften
Auf dieser Stufe reicht das Einsetzen nicht mehr: Du musst Zusammenhänge herstellen — Parameter aus gegebenen Punkten bestimmen, Gleichungen umstellen, Graphen vergleichen und Ergebnisse im Sachzusammenhang deuten. Zehn Aufgaben quer durch Kapitel 2, fünf davon interaktiv, fünf im Klausurformat mit Hinweis und Erwartungshorizont.
Der Punkt \(P\left(2\,\middle|\,0{,}125\right)\) liegt auf dem Graphen einer Potenzfunktion \(f(x)=x^{n}\).
Arbeite dich Schritt für Schritt zum Exponenten vor und rechne danach einen weiteren Funktionswert aus.
- Schreibe \(0{,}125\) als Bruch mit dem Zähler 1: \(0{,}125=\)
- Der Nenner ist eine Zweierpotenz. Für welches \(k\) gilt \(8=2^{k}\)? \(k=\)
- Aus \(2^{n}=\frac{1}{2^{3}}\) folgt für den Exponenten \(n=\)
- Berechne damit \(f(-2)=(-2)^{-3}=\)
In einem Physikversuch wird Sand durch einen Trichter geschüttet; es entsteht ein Kegel. Für sein Volumen in Abhängigkeit vom Grundkreisradius \(r\) gilt näherungsweise $$V(r)=a\cdot r^{3}\qquad\text{mit}\quad [V]=\mathrm{cm}^{3},\ [r]=\mathrm{cm}.$$ Bei einer Messung gehört zum Radius \(r=2\ \mathrm{cm}\) das Volumen \(V=6\ \mathrm{cm}^{3}\).
- Berechne den Vorfaktor \(a\) aus der Messung.
- Bestimme das Volumen des Sandkegels für \(r=5\ \mathrm{cm}\).
- Erläutere wie sich das Volumen ändert, wenn der Radius verdoppelt wird — und begründe das am Funktionsterm.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Ansatz: \(V(2)=a\cdot 2^{3}=8a\) und \(V(2)=6\).
$$8a=6\quad\Rightarrow\quad a=\frac{6}{8}=0{,}75$$ Damit gilt \(V(r)=0{,}75\cdot r^{3}\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(V(5)=0{,}75\cdot 5^{3}=0{,}75\cdot 125=93{,}75\), also rund \(93{,}8\ \mathrm{cm}^{3}\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(V(2r)=a\cdot(2r)^{3}=a\cdot 2^{3}\cdot r^{3}=8\cdot a\cdot r^{3}=8\cdot V(r)\).
Das Volumen wird also achtmal so groß, nicht doppelt so groß. Kontrolle mit Zahlen: \(V(2)=6\) und \(V(4)=0{,}75\cdot 64=48=8\cdot 6\) ✓. Der Grund ist der Exponent 3: Jeder Faktor, mit dem \(r\) gestreckt wird, geht in dritter Potenz in das Volumen ein.
Für \(f(x)=x^{n}\) mit \(n\in\mathbb{N}\) hängen manche Eigenschaften von der Parität des Exponenten ab, andere nicht.
Sortiere die neun Karten in den passenden Korb.
Winkelfunktionen — Amplitude, Periode, Modellierung
Gegeben sind die beiden Funktionen $$f(x)=1{,}5\cdot\sin(2x)\qquad\text{und}\qquad g(x)=\sin(x),\quad D=\mathbb{R}.$$ Der Graph von \(f\) entsteht aus dem Graphen von \(g\) durch zwei Veränderungen.
- Gib an Amplitude, Periode und Wertemenge von \(f\).
- Berechne alle Nullstellen von \(f\) im Intervall \([0;2\pi]\).
- Vergleiche die Graphen von \(f\) und \(g\) und beschreibe die beiden Veränderungen in Worten.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Amplitude \(a=1{,}5\). Periode \(p=\frac{2\pi}{2}=\pi\). Wertemenge \(W_{f}=[-1{,}5;\,1{,}5]\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Ansatz: \(1{,}5\cdot\sin(2x)=0 \Leftrightarrow \sin(2x)=0\).
Der Sinus ist null für \(2x=0,\ \pi,\ 2\pi,\ 3\pi,\ 4\pi\), also für $$x=0,\quad \frac{\pi}{2},\quad \pi,\quad \frac{3\pi}{2},\quad 2\pi.$$ Im Intervall \([0;2\pi]\) hat \(f\) also fünf Nullstellen, doppelt so viele wie \(g\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Gemeinsam: Beide Graphen sind Sinuskurven, beide haben bei \(x=0\) eine Nullstelle und beide sind punktsymmetrisch zum Ursprung.
Unterschied 1 (Streckung in \(y\)-Richtung): Der Faktor \(1{,}5\) streckt den Graphen vom Boden weg; \(f\) schwankt zwischen \(-1{,}5\) und \(1{,}5\) statt zwischen \(-1\) und \(1\).
Unterschied 2 (Stauchung in \(x\)-Richtung): Der Faktor 2 im Argument halbiert die Periode; \(f\) durchläuft im selben Abschnitt zwei volle Schwingungen, \(g\) nur eine.
Mira soll für \(h(x)=3\cdot\sin\left(\frac{1}{2}x\right)\) Amplitude, Periode, Wertemenge und die erste positive Nullstelle bestimmen. In ihrem Lösungsweg stecken zwei Fehler.
Markiere genau die falschen Zeilen.
Ein Riesenrad hat den Radius \(15\ \mathrm{m}\); die Achse liegt \(18\ \mathrm{m}\) über dem Boden. Das Rad dreht sich gleichmäßig und braucht für eine volle Umdrehung \(4\) Minuten. Für die Höhe einer Gondel über dem Boden nach \(t\) Minuten gilt $$h(t)=18+15\cdot\sin\left(\frac{\pi}{2}\,t\right)\qquad\text{mit}\quad [h]=\mathrm{m},\ [t]=\min.$$ Zum Zeitpunkt \(t=0\) befindet sich die Gondel auf Achshöhe und fährt nach oben.
- Berechne die Höhe der Gondel nach \(1\), \(2\) und \(3\) Minuten.
- Bestimme die größte und die kleinste Höhe der Gondel sowie die zugehörigen Zeitpunkte in den ersten 4 Minuten.
- Überprüfe die Behauptung „Nach der halben Umlaufzeit ist die Gondel am höchsten“.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(h(1)=18+15\cdot\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=18+15\cdot 1=33\), also \(33\ \mathrm{m}\).
\(h(2)=18+15\cdot\sin(\pi)=18+15\cdot 0=18\), also \(18\ \mathrm{m}\).
\(h(3)=18+15\cdot\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)=18+15\cdot(-1)=3\), also \(3\ \mathrm{m}\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Wegen \(-1\le\sin\left(\frac{\pi}{2}t\right)\le 1\) gilt \(18-15\le h(t)\le 18+15\), also \(3\ \mathrm{m}\le h(t)\le 33\ \mathrm{m}\).
Die größte Höhe \(33\ \mathrm{m}\) wird bei \(t=1\ \min\) erreicht (Argument \(\frac{\pi}{2}\)), die kleinste Höhe \(3\ \mathrm{m}\) bei \(t=3\ \min\) (Argument \(\frac{3\pi}{2}\)). Das passt zum Radius: \(33-3=30=2\cdot 15\ \mathrm{m}\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Die Behauptung ist falsch. Die halbe Umlaufzeit beträgt \(2\ \min\), dort gilt aber \(h(2)=18\ \mathrm{m}\) — das ist die Achshöhe, nicht der höchste Punkt.
Der Grund: Die Gondel startet bei \(t=0\) nicht unten, sondern auf halber Höhe. Vom Startpunkt bis zum höchsten Punkt vergeht deshalb nur ein Viertel der Umlaufzeit, also \(1\ \min\). Die Behauptung wäre nur dann richtig, wenn die Gondel bei \(t=0\) am tiefsten Punkt stünde.
Exponentialfunktionen — Funktionsterm aufstellen
Eine Population wächst exponentiell nach \(N(t)=c\cdot q^{t}\). Gemessen wurden \(N(0)=400\) und \(N(3)=3200\).
Spiele den Lösungsweg durch und entscheide bei jedem Schritt selbst.
Ein Auto kostet neu \(24\,000\ \text{€}\). Sein Wert nimmt jedes Jahr um \(20\ \%\) gegenüber dem Vorjahr ab. Für den Wert nach \(t\) Jahren gilt $$W(t)=c\cdot q^{t}\qquad\text{mit}\quad [W]=\text{€},\ [t]=\mathrm{a}.$$
- Gib an die Werte von \(c\) und \(q\) und stelle den Funktionsterm auf.
- Berechne den Wert des Autos nach \(3\) Jahren.
- Begründe warum der Wert nach dieser Modellrechnung niemals genau \(0\ \text{€}\) wird.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(c=24\,000\), denn das ist der Wert bei \(t=0\). Bei \(-20\ \%\) pro Jahr bleiben \(100\ \%-20\ \%=80\ \%\), also \(q=0{,}8\).
$$W(t)=24\,000\cdot 0{,}8^{\,t}$$
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(W(3)=24\,000\cdot 0{,}8^{3}=24\,000\cdot 0{,}512=12\,288\).
Nach drei Jahren ist das Auto also noch rund \(12\,288\ \text{€}\) wert — etwa die Hälfte des Neupreises.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Eine Potenz \(0{,}8^{\,t}\) ist für jedes \(t\) echt positiv: Ein Produkt aus lauter positiven Faktoren kann nie null werden. Damit ist auch \(W(t)=24\,000\cdot 0{,}8^{\,t}>0\) für alle \(t\).
Graphisch heißt das: Die \(t\)-Achse ist eine waagerechte Asymptote. Der Wert nähert sich beliebig nah an \(0\ \text{€}\) an, erreicht die Null aber nie. In der Realität ist das Modell natürlich nur begrenzt gültig — irgendwann ist ein Auto praktisch wertlos.
Logarithmusfunktionen — Gleichungen lösen
Zu lösen ist die Exponentialgleichung \(5\cdot 2^{x}=160\).
Baue aus den Bausteinen den korrekten Lösungsweg — vier Schritte in der richtigen Reihenfolge. Drei Bausteine passen nicht.
Nach der Einnahme befinden sich \(80\ \mathrm{mg}\) eines Wirkstoffs im Blut. Pro Stunde baut der Körper \(25\ \%\) der jeweils vorhandenen Menge ab. Für die Wirkstoffmenge nach \(t\) Stunden gilt $$M(t)=80\cdot 0{,}75^{\,t}\qquad\text{mit}\quad [M]=\mathrm{mg},\ [t]=\mathrm{h}.$$ Ab einer Menge unter \(10\ \mathrm{mg}\) wirkt das Medikament nicht mehr.
- Berechne die Wirkstoffmenge nach \(4\) Stunden.
- Bestimme mit dem Logarithmus, nach welcher Zeit nur noch \(10\ \mathrm{mg}\) im Blut sind.
- Interpretiere das Ergebnis: Wie oft sollte das Medikament pro Tag eingenommen werden?
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(M(4)=80\cdot 0{,}75^{4}=80\cdot 0{,}31640625\approx 25{,}3\).
Nach vier Stunden sind noch rund \(25{,}3\ \mathrm{mg}\) im Blut — das Medikament wirkt also noch.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Ansatz: \(80\cdot 0{,}75^{\,t}=10\).
$$0{,}75^{\,t}=\frac{10}{80}=0{,}125\quad\Rightarrow\quad t=\log_{0{,}75}(0{,}125)=\frac{\log(0{,}125)}{\log(0{,}75)}$$
Der GTR liefert \(t\approx 7{,}23\). Nach rund 7,2 Stunden ist die Wirkschwelle erreicht. Probe: \(80\cdot 0{,}75^{7{,}23}\approx 10{,}0\) ✓.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Das Medikament wirkt gut sieben Stunden lang. In \(24\) Stunden passen \(24:7{,}2\approx 3{,}3\) solcher Zeitspannen.
Sinnvoll ist deshalb eine Einnahme dreimal täglich, also etwa alle acht Stunden. Zwei Einnahmen würden eine Lücke von rund fünf Stunden ohne Wirkung lassen. Zu beachten ist außerdem, dass sich die Restmengen bei wiederholter Einnahme aufaddieren — das Modell beschreibt nur eine einzelne Dosis.