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Eigenschaften der Potenzfkt.

Alle Graphen von \(f(x)=x^{n}\) laufen durch dieselben zwei bis drei Punkte. Ob sie danach nach oben oder nach unten abbiegen, entscheidet allein eine Frage: Ist der Exponent gerade oder ungerade?

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Gerade oder ungerade?

Ob der Exponent gerade oder ungerade ist, entscheidet über die Grundform des Graphen von \(f(x)=x^{n}\).

  • Gemeinsame Punkte:wegen \(0^{n}=0\) und \(1^{n}=1\) immer \(O(0\,|\,0)\) und \(P(1\,|\,1)\).
  • Stelle \(x=-1\):\(n\) gerade: \(Q(-1\,|\,1)\); \(n\) ungerade: \(R(-1\,|\,-1)\).
  • Symmetrie:\(n\) gerade: achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse; \(n\) ungerade: punktsymmetrisch zum Ursprung.
  • Quadranten:\(n\) gerade: I und II; \(n\) ungerade: I und III.
  • Monotonie:\(n\) gerade: fällt bis \(x=0\), steigt danach; \(n\) ungerade: steigt überall.
  • Minus davor:\(-x^{n}\) ist an der \(x\)-Achse gespiegelt: Monotonie und Quadranten kippen, die Symmetrie bleibt.
Dieselben Punkte, zwei verschiedene Bilder
Dieselben drei Punkte — nur der dritte hängt vom Exponenten abgerader Exponent: x² und x⁴xy−11−1120x²x⁴P(1|1)Q(−1|1)O(0|0)ungerader Exponent: x und x³xy−11−110xx³P(1|1)R(−1|−1)O(0|0)

Links die geraden Exponenten: der dritte gemeinsame Punkt liegt oben links bei \(Q(-1\,|\,1)\). Rechts die ungeraden: er liegt unten links bei \(R(-1\,|\,-1)\).

Zähle den Exponenten \(n\) hoch und achte auf die eingefärbten Quadranten.

Gerade oder ungerade?

Der Exponent \(n\) läuft von 1 bis 6. Eingefärbt sind die Quadranten, in denen der Graph tatsächlich verläuft.

xy−11−2−1120IIIIIIIVP(1|1)O(0|0)f(x) = x²
Symmetrieachsensymmetrisch
QuadrantenI und II
Wertemengey ≥ 0

Halte fest: es gibt nur zwei Grundformen — gerade Exponenten liegen in I und II, ungerade in I und III.

Quadranten und Monotonie
Welche Quadranten werden belegt — und wie verläuft die Kurve dort?gerader Exponent — Quadranten I und IIxy−11−1120IIIIVIIIfälltsteigtx² x⁴ x⁶ungerader Exponent — Quadranten I und IIIxy−11−110IIIIIIIVsteigt überallx x³ x⁵

Links \(x^{2}\), \(x^{4}\), \(x^{6}\) in den Quadranten I und II mit der Wende im Ursprung. Rechts \(x\), \(x^{3}\), \(x^{5}\) in den Quadranten I und III mit durchgehend steigendem Verlauf.

Merke

Kontrollpunkt: \(Q(-1\,|\,1)\) \(\Rightarrow\) \(n\) gerade, \(R(-1\,|\,-1)\) \(\Rightarrow\) \(n\) ungerade

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Steilheit und Grenzverhalten

Ein größerer Exponent macht den Graphen nicht überall steiler — es kommt auf den Bereich an.

  • Außerhalb von \([-1;\,1]\):steiler: \(2^{2}=4\), aber \(2^{6}=64\).
  • Innerhalb von \([-1;\,1]\):flacher: \(0{,}5^{2}=0{,}25\), aber \(0{,}5^{6}\approx0{,}016\).
  • Einheitsquadrat:Quadrat mit den Ecken \((\pm1\,|\,0)\) und \((\pm1\,|\,1)\); an \(P(1\,|\,1)\) tauschen die Kurven ihre Reihenfolge.
  • Grenzverhalten:was mit \(f(x)\) passiert, wenn \(x\to+\infty\) oder \(x\to-\infty\) geht.
  • Rechts:für \(x\to+\infty\) gilt immer \(f(x)\to+\infty\).
  • Links:\(n\) gerade: \(f(x)\to+\infty\), z. B. \((-10)^{4}=10\,000\); \(n\) ungerade: \(f(x)\to-\infty\), z. B. \((-10)^{3}=-1000\).
Zwei Ansichten derselben drei Graphen
Ein größerer Exponent wirkt innerhalb und außerhalb des Einheitsquadrats gegensätzlichWeitwinkel: −1,6 ≤ x ≤ 1,6xy−1,5−1−0,50,511,51230außerhalb: x⁶ schießt am schnellsten nach obenx²x⁴x⁶EinheitsquadratLupe: −1,05 ≤ x ≤ 1,05xy−1−0,50,510,510innerhalb: x⁶ schmiegt sich am dichtesten an die x-Achsex²x⁴x⁶

Dieselben Kurven \(x^{2}\), \(x^{4}\) und \(x^{6}\) — links im weiten Blick, rechts stark vergrößert. Die Reihenfolge von oben nach unten dreht sich an der Stelle \(x=1\) um.

Wandere mit der Hilfslinie von \(x=0{,}2\) bis \(x=1{,}4\) und vergleiche die drei Funktionswerte.

Steilheits-Lupe

Dieselben drei Graphen in zwei Ausschnitten: der Weitwinkel zeigt \(-1{,}5\le x\le 1{,}5\), die Lupe vergrößert den Bereich \(-0{,}8\le x\le 0{,}8\).

xy−1,5−1−0,50,511,50,511,522,50x²x⁴x⁶Weitwinkel: −1,5 ≤ x ≤ 1,5
Stelle x0,6
x²0,36
x⁴0,1296
x⁶0,046656

Halte fest: bei \(x=1\) sind alle Werte gleich 1; links davon ist \(x^{2}\) am größten, rechts davon \(x^{6}\).

Die beiden Enden des Graphen
Was passiert ganz weit links und ganz weit rechts?gerader Exponent: f(x) = x⁴xy−2−1122460f(x) → +∞f(x) → +∞x → −∞x → +∞ungerader Exponent: f(x) = x³xy−2−112−440f(x) → −∞f(x) → +∞x → −∞x → +∞

Links \(f(x)=x^{4}\): beide Äste streben nach oben. Rechts \(f(x)=x^{3}\): der linke Ast strebt nach unten, der rechte nach oben.

Merke

Grenzverhalten für \(x\to-\infty\): \(x^{n}\to+\infty\) (\(n\) gerade), \(x^{n}\to-\infty\) (\(n\) ungerade)

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Definitions- und Wertemenge

Die Definitionsmenge \(D_{f}\) enthält alle erlaubten \(x\), die Wertemenge \(W_{f}\) alle vorkommenden Funktionswerte.

  • Definitionsmenge:es wird nur multipliziert, also \(D_{f}=\mathbb{R}\).
  • \(n\) gerade:\(W_{f}=\mathbb{R}_{0}^{+}\); jeder positive Wert wird zweimal angenommen.
  • \(n\) ungerade:\(W_{f}=\mathbb{R}\); jeder Wert wird genau einmal angenommen.
Was hineindarf und was herauskommt
Eingesetzt werden darf jede reelle Zahl — herauskommen kann je nach Exponent nur ein Teil davongerader Exponent: f(x) = x⁴xy−11240nur y ≥ 0jedes x erlaubtkein negativer Funktionswert — der Graph bleibt oberhalb der x-Achseungerader Exponent: f(x) = x³xy−11−220jedes yjedes x erlaubtjeder Wert kommt vor — auch jeder negative

Blau markiert ist jeweils die Definitionsmenge auf der \(x\)-Achse, grün die Wertemenge auf der \(y\)-Achse. Bei geradem Exponenten bleibt die untere Hälfte der \(y\)-Achse leer.

Merke

Wertemenge von \(x^{n}\): \(W_{f}=\mathbb{R}_{0}^{+}\) (\(n\) gerade), \(W_{f}=\mathbb{R}\) (\(n\) ungerade)

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Allgemeine Hinweise

Steiler stimmt nur halb

Ein größerer Exponent macht den Graphen nur außerhalb von \([-1;\,1]\) steiler. Innerhalb wird er flacher.

Linker Rand verrät n

Kommt der Graph links von oben, ist \(n\) gerade. Kommt er von unten, ist \(n\) ungerade.

Feste Reihenfolge

Beschreibe Symmetrie, Quadranten, Monotonie, Grenzverhalten, \(D_{f}\) und \(W_{f}\). So vergisst du keine Eigenschaft.

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