Von der Potenz zur Funktion
Hält man den Exponenten fest und macht die Basis variabel, wird aus einer Potenz eine Funktion.
- Basis:die Variable \(x\), die potenziert wird.
- Exponent:feste natürliche Zahl \(n\); sie zählt, wie oft \(x\) als Faktor vorkommt.
- Stelle:der eingesetzte \(x\)-Wert, z. B. \(x=2\).
- Funktionswert:das Ergebnis, z. B. \(f(2)=2^{3}=8\) bei \(f(x)=x^{3}\).
- Punkt:Stelle und Funktionswert ergeben einen Punkt des Graphen, hier \(P(2\,|\,8)\).
- Definitionsbereich:jede reelle Zahl darf eingesetzt werden: \(D=\mathbb{R}\).
Links die Bausteine der Potenz, rechts die fertige Funktion: Setzt man für x die Zahl 2 ein, liefert die Vorschrift den Wert 8.
Potenzfunktion: \(f(x)=x^{n}\) mit \(n\in\mathbb{N}\), \(D=\mathbb{R}\)
Basis oder Exponent?
\(x^{2}\) und \(2^{x}\) sehen ähnlich aus, sind aber verschiedene Funktionstypen.
- Potenzfunktion:\(x\) steht unten in der Basis, der Exponent ist fest: \(x^{2}\), \(x^{5}\).
- Exponentialfunktion:\(x\) steht oben im Exponenten, die Basis ist fest: \(2^{x}\), \(10^{x}\).
- Vergleich:bei \(x=2\) liefern \(x^{2}\) und \(2^{x}\) beide den Wert \(4\).
Bei der Potenzfunktion ist die Basis variabel, bei der Exponentialfunktion der Exponent.
Verschiebe den Regler und vergleiche die Funktionswerte von \(x^{2}\) und \(2^{x}\) an derselben Stelle.
Basis oder Exponent?
Links die Potenzfunktion \(x^{2}\), rechts die Exponentialfunktion \(2^{x}\) — mit demselben eingestellten \(x\).
Halte fest: Bei \(x=2\) und \(x=4\) sind beide Werte gleich; für große \(x\) überholt \(2^{x}\) die Potenz \(x^{2}\) endgültig.
Potenz oder Exponential: \(x\) unten \(\Rightarrow\) Potenzfunktion, \(x\) oben \(\Rightarrow\) Exponentialfunktion
Die ersten Vertreter
Die Graphen von \(x\), \(x^{2}\), \(x^{3}\) und \(x^{4}\) zeigen schon alle wichtigen Muster.
Alle vier Kurven laufen durch den Ursprung \(O(0\,|\,0)\) und durch den Punkt \(P(1\,|\,1)\). Für \(x\) zwischen \(-1\) und \(1\) liegen die Graphen mit großem Exponenten näher an der \(x\)-Achse, außerhalb steigen sie deutlich schneller.
- Gerader Exponent:\((-2)^{4}=16\): alle Funktionswerte \(\ge 0\), der Graph liegt nie unter der \(x\)-Achse.
- Ungerader Exponent:\((-2)^{3}=-8\): der Funktionswert behält das Vorzeichen von \(x\).
- Gemeinsame Punkte:wegen \(0^{n}=0\) und \(1^{n}=1\) gehen alle Graphen durch \(O(0\,|\,0)\) und \(P(1\,|\,1)\).
- Steilheit:zwischen \(-1\) und \(1\) wird der Graph mit wachsendem \(n\) flacher, außerhalb steiler.
- Skizze:Stellen um \(0\) wählen, Wertetabelle anlegen, Punkte glatt verbinden.
Stelle den Exponenten \(n\) ein und beobachte Kurve und Wertetabelle gleichzeitig.
Potenz-Explorer
Der Exponent \(n\) läuft von 1 bis 6. Zum Vergleich bleibt \(x^{2}\) grau gestrichelt im Hintergrund stehen.
| x | −2 | −1 | −0,5 | 0 | 0,5 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | 4 | 1 | 0,25 | 0 | 0,25 | 1 | 4 |
Halte fest: \(O(0\,|\,0)\) und \(P(1\,|\,1)\) bleiben bei jedem \(n\) auf der Kurve, z. B. \(0{,}5^{2}=0{,}25\) aber \(0{,}5^{6}\approx0{,}016\).
Von der Stellenauswahl über die Wertetabelle bis zur fertigen Kurve. Bei ungeradem Exponenten genügt es, die rechte Hälfte zu berechnen: die linke entsteht daraus durch Punktspiegelung am Ursprung.
Kontrollpunkte: jeder Graph von \(x^{n}\) enthält \(O(0\,|\,0)\) und \(P(1\,|\,1)\)
Allgemeine Hinweise
x unten oder oben
Bei \(x^{2}\) ist die Basis variabel, bei \(2^{x}\) der Exponent. Nur das Erste ist eine Potenzfunktion.
Klammer setzen
Negative Zahlen setzt du immer in Klammern ein: \((-2)^{4}=16\). Ohne Klammer wäre \(-2^{4}=-16\).
Skizze prüfen
Deine Kurve muss durch \(O(0\,|\,0)\) und \(P(1\,|\,1)\) laufen. Keine Ecken, keine Sprünge.