Was eine Exponentialfunktion ist
Bei einer Exponentialfunktion steht \(x\) oben im Exponenten, die Basis ist eine feste Zahl.
- Bisher:bei Potenzfunktionen stand \(x\) unten in der Basis, z. B. \(x^{2}\) oder \(x^{-1}\).
- Jetzt:\(x\) steht im Exponenten, z. B. \(2^{x}\).
- Vorfaktor \(a\):die Zahl vor der Potenz.
- Basis \(n\):eine feste Zahl mit \(n>0\) und \(n\neq 1\).
Exponentialfunktion: \(f(x)=a\cdot n^{x}\) mit \(n>0\) und \(n\neq 1\)
Drei Beispiele
Jeder der drei Terme passt in die Form \(a\cdot n^{x}\). Lies jeweils Vorfaktor und Basis ab.
- \(f(x)=2^{x}\):Vorfaktor \(a=1\), Basis \(n=2\).
- \(f(x)=3\cdot 5^{x}\):Vorfaktor \(a=3\), Basis \(n=5\).
- \(f(x)=0{,}5^{x}\):Vorfaktor \(a=1\), Basis \(n=0{,}5\).
- Prüfung:alle drei Basen sind positiv und ungleich \(1\) — also Exponentialfunktionen.
Wähle eines der drei Beispiele — das Applet zeichnet den Graphen. Mit „Alle drei“ legst du sie übereinander.
Die drei Beispiele als Graph
Beispiel ①: f(x) = 2^x mit a = 1 und n = 2.
Halte fest: Alle drei Graphen liegen oberhalb der \(x\)-Achse. Bei \(a=1\) gehen sie durch \((0\,|\,1)\), bei \(a=3\) durch \((0\,|\,3)\).
Die beiden Bedingungen an die Basis
Die zwei Einschränkungen für \(n\) haben jeweils einen einfachen Grund.
- \(n>0\):für eine negative Basis lässt sich \(n^{x}\) nicht für jedes \(x\) berechnen — es entsteht kein durchgehender Graph.
- \(n\neq 1\):wegen \(1^{x}=1\) wäre der Graph eine waagerechte Gerade, also eine konstante Funktion.
Erkennen: \(x\) im Exponenten und feste Basis \(n>0\), \(n\neq 1\) \(\Rightarrow\) Exponentialfunktion
Allgemeine Hinweise
Wo steht das \(x\)?
\(x^{2}\) ist eine Potenzfunktion, \(2^{x}\) eine Exponentialfunktion. Entscheidend ist nur die Stelle des \(x\).
Basis 1 zählt nicht
Wegen \(1^{x}=1\) ist \(f(x)=1^{x}\) konstant. Das ist keine Exponentialfunktion.
Vorfaktor ablesen
Setze \(x=0\) ein: Wegen \(n^{0}=1\) gilt \(f(0)=a\). Der Graph schneidet die \(y\)-Achse also bei \(a\).