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Symmetrie von Potenzfunktionen

Manche Graphen sehen links und rechts der y-Achse gleich aus, andere gehen bei einer Drehung um den Ursprung in sich selbst über — nachrechnen lässt sich beides mit f(−x).

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Spiegeln an der y-Achse

Ein achsensymmetrischer Graph hat links und rechts der \(y\)-Achse in gleichem Abstand dieselbe Höhe.

  • Spiegelachse:die \(y\)-Achse, also die Gerade \(x=0\).
  • Bildpunkt:zu \(P(x\,|\,f(x))\) gehört \(P'(-x\,|\,f(x))\).
  • Bedingung:\(f(-x)=f(x)\) für jedes \(x\) der Definitionsmenge.
  • Beispiel:die Normalparabel \(f(x)=x^{2}\).
Achsensymmetrie am Beispiel \(f(x)=x^{2}\)
−2−1121234xySpiegelachseP(x | f(x))P′(−x | f(−x))f(x) = x²Gleiche Höhe links und rechts: f(−x) = f(x)

Die waagerechten Doppelpfeile verbinden jeweils zwei Kurvenpunkte gleicher Höhe — die \(y\)-Achse wirkt wie ein Spiegel.

Merke

Achsensymmetrie zur y-Achse: \(f(-x)=f(x)\)

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Drehen um den Ursprung

Ein punktsymmetrischer Graph bleibt gleich, wenn du ihn um \(180^\circ\) um den Ursprung drehst.

  • Symmetriezentrum:der Ursprung \(O(0\,|\,0)\).
  • Bildpunkt:zu \(P(x\,|\,f(x))\) gehört \(P'(-x\,|\,-f(x))\) — beide Koordinaten wechseln das Vorzeichen.
  • Bedingung:\(f(-x)=-f(x)\) für jedes \(x\) der Definitionsmenge.
  • Beispiel:\(f(x)=x^{3}\).
Punktsymmetrie am Beispiel \(f(x)=x^{3}\)
−11−2−112xyUrsprungP(x | f(x))P′(−x | −f(x))f(x) = x³Drehung um 180° um den Ursprung: f(−x) = −f(x)

Die Doppelpfeile laufen durch den Ursprung: Jeder Punkt oben rechts hat seinen Partner unten links.

Ziehe \(P\) über den Graphen, wähle Spiegelung an der \(y\)-Achse oder Drehung um den Ursprung und prüfe, ob der Bildpunkt auf der Kurve landet.

Spiegel-Applet

Der orange Punkt \(P\) läuft auf dem Graphen, der grüne Punkt \(P'\) ist sein Spiegelbild. Ziehen mit der Maus, mit dem Regler oder — nach dem Anklicken von \(P\) — mit den Pfeiltasten.

−2−112−2−112xyf₁(x) = x²AblesetafelPunkt P—Bildpunkt P′—f(−x)—Liegt P′ auf dem Graphen?—

Halte fest: bei \(x^{2}\) und \(3x^{2}\) passt nur die Spiegelung, bei \(x^{3}\), \(x^{-3}\) und \(x^{5}+x^{3}\) nur die Drehung. Ein einzelner Punkt beweist aber noch nichts.

Merke

Punktsymmetrie zum Ursprung: \(f(-x)=-f(x)\)

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Symmetrie nachweisen

Der Nachweis gelingt immer mit denselben drei Schritten.

  • Schritt 1:\(-x\) in Klammern einsetzen und \(f(-x)\) aufschreiben.
  • Schritt 2:vereinfachen: \((-x)^{2}=x^{2}\), aber \((-x)^{3}=-x^{3}\).
  • Schritt 3:vergleichen: \(f(x)\) heißt achsensymmetrisch, \(-f(x)\) heißt punktsymmetrisch.
  • Beispiel:\(f(x)=x^{5}+x^{3}\): \(f(-x)=-x^{5}-x^{3}=-f(x)\) — punktsymmetrisch.
  • Negative Exponenten:\(f(x)=x^{-100}\): \(f(-x)=\frac{1}{(-x)^{100}}=f(x)\) — achsensymmetrisch.
  • Vorfaktor:\(3x^{2}\) bleibt achsensymmetrisch; ein konstanter Faktor ändert nichts.
Merke

Potenzfunktion \(x^{n}\): \(n\) gerade \(\Rightarrow\) achsensymmetrisch, \(n\) ungerade \(\Rightarrow\) punktsymmetrisch

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Allgemeine Hinweise

Ein Punkt beweist nichts

Ein passendes Punktepaar reicht nicht als Nachweis. Die Gleichung muss für jedes \(x\) gelten.

Klammer um −x

Setze \(-x\) immer mit Klammer ein. Aus \((-x)^{3}\) wird \(-x^{3}\), das Minus darf nicht verloren gehen.

Exponenten ansehen

Hat jeder Summand einen geraden Exponenten, ist der Graph achsensymmetrisch. Sind alle ungerade, ist er punktsymmetrisch.

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