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Potenzfkt.: neg. Exponent

Lässt man in der Potenz auch negative Exponenten zu, wird aus ihr ein Bruch. Der Graph zerfällt dann in zwei getrennte Äste, und eine einzige Stelle bleibt für immer verboten.

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Die Potenztreppe geht weiter

Setzt man die Potenztreppe unter \(2^{0}=1\) fort, halbiert sich der Wert bei jeder Stufe weiter.

  • Treppe:\(2^{1}=2\), \(2^{0}=1\), \(2^{-1}=\frac{1}{2}\), \(2^{-2}=\frac{1}{4}\), \(2^{-3}=\frac{1}{8}\).
  • Kehrwert:\(1\) geteilt durch die Zahl; \(x^{-n}\) ist der Kehrwert von \(x^{n}\).
  • Beispiel:\(2^{-3}=\frac{1}{2^{3}}=\frac{1}{8}=0{,}125\) und umgekehrt \(\frac{1}{5^{2}}=5^{-2}\).
  • Vorzeichen:das Minus im Exponenten macht das Ergebnis nicht negativ.
  • Bedingung:\(x\neq0\), weil ein Nenner nie null sein darf.
Die Potenztreppe der Basis 2
Eine Stufe tiefer heißt: Exponent minus eins — und der Wert wird halbiertDie Potenztreppe der Basis 22⁴=16: 22³=8: 22²=4: 22¹=2: 22⁰=1: 22⁻¹=12= 0,5: 22⁻²=14= 0,25: 22⁻³=18= 0,125daraus folgtDas Potenzgesetzx⁻ⁿ=1xⁿx⁻ⁿ ist der Kehrwert von xⁿProbe mit der Basis 2 und n = 32⁻³=12³=18= 0,125

Jede Stufe abwärts senkt den Exponenten um 1 und halbiert den Wert. Unterhalb von \(2^{0}=1\) geht die Treppe genauso weiter — nur landen die Werte jetzt zwischen 0 und 1.

Merke

Negativer Exponent: \(x^{-n}=\dfrac{1}{x^{n}}\) mit \(x\neq0\)

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Die neue Funktion

Mit der Variablen \(x\) in der Basis wird aus dem Potenzgesetz eine Funktion.

  • Funktionsterm:\(f(x)=x^{-n}=\frac{1}{x^{n}}\) mit \(n\in\mathbb{N}\).
  • Definitionsmenge:\(D_{f}=\mathbb{R}\setminus\{0\}\), gelesen „\(\mathbb{R}\) ohne 0“.
  • Beispiele:\(x^{-1}=\frac{1}{x}\), \(x^{-2}=\frac{1}{x^{2}}\), \(x^{-7}=\frac{1}{x^{7}}\).
  • Schreibweisen:Potenzschreibweise ist kürzer, die Bruchschreibweise zeigt die verbotene Stelle.
Potenzschreibweise und Bruchschreibweise
Dieselbe Funktion, zwei SchreibweisenPotenzschreibweisex⁻ⁿkurz — so steht es in der Definitionin beide RichtungengleichwertigBruchschreibweise1xⁿzeigt sofort: der Nenner darf nicht null seinx⁻¹=1xx⁻²=1x²x⁻⁷=1x⁷x⁻²²⁵=1x²²⁵

Du darfst jederzeit in beide Richtungen umschreiben. Beim Umschreiben ändert sich nur das Vorzeichen des Exponenten — die Basis bleibt, wie sie ist.

Stelle einen Exponenten \(n\) ein und schiebe denselben \(x\)-Wert durch beide Koordinatensysteme.

Kehrwert-Brücke

Links die schon bekannte Potenzfunktion \(f(x)=x^{n}\), rechts die neue Funktion \(g(x)=x^{-n}\) — beide mit demselben eingestellten \(x\).

f(x) = xⁿxy-2-112-4-22401g(x) = x⁻ⁿxy-2-112-4-22401Definitionslückederselbe x-Wert in beiden Systemen — die Werte sind zueinander Kehrwerte
Stelle x2
Potenz xⁿ2
Kehrwert x⁻ⁿ0,5

Halte fest: das Produkt der beiden Werte ist immer 1 — das bedeutet Kehrwert. Bei \(x=0\) ist \(x^{-n}\) nicht definiert.

Merke

Potenzfunktion mit negativem Exponenten: \(f(x)=x^{-n}=\dfrac{1}{x^{n}}\), \(D_{f}=\mathbb{R}\setminus\{0\}\)

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Polstelle und Asymptoten

An der Stelle \(x=0\) fehlt ein Funktionswert — der Graph zerfällt dort in zwei Äste.

  • Definitionslücke:Stelle, die nicht zu \(D_{f}\) gehört, hier \(x=0\).
  • Polstelle:Lücke, neben der die Werte über jede Grenze wachsen: \(f(0{,}01)=100\), \(f(-0{,}01)=-100\) bei \(f(x)=x^{-1}\).
  • Asymptote:Gerade, der sich der Graph immer weiter nähert, ohne sie zu erreichen.
  • Senkrechte Asymptote:\(x=0\), die \(y\)-Achse.
  • Waagerechte Asymptote:\(y=0\), die \(x\)-Achse: \(f(1000)=0{,}001\), aber nie genau 0.
  • Hyperbel:Name der Kurvenform aus zwei getrennten Ästen.
Der Graph von \(f(x)=x^{-1}\) mit seinen Asymptoten
xy-3-2-1123-3-2-11230senkrechte Asymptote x = 0waagerechte Asymptote y = 0Definitionslücke bei x = 0der Graph hat hier eine PolstelleP(1|1)Q(−1|−1)f(x) = x⁻¹Zwei getrennte Äste — und eine Stelle, die fehlt

Der Graph besteht aus zwei getrennten Ästen. Sie berühren weder die senkrechte noch die waagerechte Achse — beide Achsen sind hier Asymptoten.

Klicke dich Stufe für Stufe an die Null heran und beobachte Punkt und Wertetabelle.

Annäherung an Null

Fünf Stufen führen den \(x\)-Wert schrittweise an die Null heran: 1; 0,5; 0,1; 0,01; 0,001. Gezeichnet ist der rechte Ast von \(f(x)=x^{-1}\).

xy-0,50,511,5246810120senkrechte Asymptote x = 0waagerechte Asymptote y = 0f(1) = 1Stufe 1 von 5
Stelle x1
Funktionswert1
Wertetabelle, die mitwächst
x10,50,10,010,001
\(x^{-1}\)1————
\(x^{-2}\)1————

Halte fest: bei \(x=0{,}001\) ist \(x^{-1}=1000\), aber \(x^{-2}=1\,000\,000\). Die Null selbst wird nie erreicht.

Die ersten Vertreter \(x^{-1}\), \(x^{-2}\) und \(x^{-3}\) zeigen die Muster im Vergleich.

Die Graphen von \(x^{-1}\), \(x^{-2}\) und \(x^{-3}\)
xy-2-1123-4-2240f₁(x) = x⁻¹f₂(x) = x⁻²f₃(x) = x⁻³P(1|1)Q(−1|1)R(−1|−1)Drei Hyperbeln in einem Koordinatensystem

Alle drei Kurven laufen durch den Punkt \(P(1\,|\,1)\), denn \(1^{-n}=1\). Rechts der \(y\)-Achse liegen alle drei Äste oben; links unterscheiden sie sich.

  • Gerader Exponent:\((-0{,}5)^{-2}=4\): beide Äste über der \(x\)-Achse, Quadranten I und II.
  • Ungerader Exponent:\((-0{,}5)^{-3}=-8\): linker Ast im III. Quadranten.
  • Gemeinsame Punkte:immer \(P(1\,|\,1)\); dazu \(Q(-1\,|\,1)\) bei geradem, \(R(-1\,|\,-1)\) bei ungeradem \(n\).
  • Kein Ursprung:\(O(0\,|\,0)\) liegt auf keinem dieser Graphen.
Merke

Asymptoten von \(x^{-n}\): \(x=0\) (senkrecht) und \(y=0\) (waagerecht)

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Allgemeine Hinweise

Minus heißt Nenner

\(2^{-3}\) ist \(\frac{1}{8}\), nicht \(-8\). Das Minus im Exponenten schiebt die Potenz in den Nenner.

Nie durchverbinden

Die beiden Äste werden nie über die \(y\)-Achse verbunden. Bei \(x=0\) gibt es keinen Punkt.

Kontrollpunkt

Wegen \(1^{-n}=1\) läuft jeder Graph durch \(P(1\,|\,1)\). Prüfe damit deine Skizze.

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