Potenzfunktionen — Regeln beweisen statt anwenden
Hier geht es nicht mehr ums Rechnen allein: Du sollst verallgemeinern und reflektieren — Regeln beweisen statt anwenden, Aussagen mit Gegenbeispielen widerlegen, Modelle beurteilen und ihre Grenzen benennen. Zehn Aufgaben quer durch Kapitel 2, fünf interaktiv, fünf im Klausurformat mit Hinweis und Erwartungshorizont.
Betrachtet wird \(f(x)=x^{n}\) für beliebiges \(n\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}\) — der Exponent ist also nicht festgelegt.
Markiere alle Aussagen, die für jedes zulässige \(n\) gelten.
Auf der Erklärseite steht die Symmetrieregel als Merksatz. In dieser Aufgabe wird sie bewiesen. Grundlage ist die Rechenregel $$(-x)^{n}=(-1)^{n}\cdot x^{n}\qquad\text{für alle } n\in\mathbb{N}.$$ Zur Erinnerung: Ein Graph heißt achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, wenn \(f(-x)=f(x)\) für alle \(x\in D_{f}\) gilt, und punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn \(f(-x)=-f(x)\) gilt.
- Zeige allgemein, dass der Graph von \(f(x)=x^{n}\) für gerades \(n\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist.
- Begründe warum aus derselben Rechenregel für ungerades \(n\) die Punktsymmetrie zum Ursprung folgt.
- Beurteile die Aussage einer Mitschülerin: „Der Graph von \(g(x)=x^{4}+x^{3}\) ist achsensymmetrisch, weil beide Summanden Potenzen von \(x\) sind.“
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Sei \(n=2k\) mit \(k\in\mathbb{N}\), also \(n\) gerade. Dann gilt für jedes \(x\in\mathbb{R}\):
$$f(-x)=(-x)^{n}=(-1)^{n}\cdot x^{n}=(-1)^{2k}\cdot x^{n}=\left((-1)^{2}\right)^{k}\cdot x^{n}=1^{k}\cdot x^{n}=x^{n}=f(x)$$
Damit ist \(f(-x)=f(x)\) für alle \(x\in D_{f}=\mathbb{R}\) gezeigt — der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Entscheidend war allein, dass \((-1)\) in gerader Anzahl auftritt und sich die Minuszeichen paarweise aufheben.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Sei nun \(n=2k+1\) ungerade. Dann ist \((-1)^{2k+1}=(-1)^{2k}\cdot(-1)^{1}=1\cdot(-1)=-1\) und folglich
$$f(-x)=(-1)^{n}\cdot x^{n}=-x^{n}=-f(x).$$
Das ist genau die Bedingung für Punktsymmetrie zum Ursprung. Beide Fälle stammen also aus einer Quelle: dem Faktor \((-1)^{n}\). Er ist \(+1\) bei geradem und \(-1\) bei ungeradem Exponenten — mehr steckt hinter der Symmetrieregel nicht.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Die Aussage ist falsch. Gegenbeispiel: \(g(1)=1^{4}+1^{3}=2\), aber \(g(-1)=(-1)^{4}+(-1)^{3}=1-1=0\). Wegen \(g(-1)\neq g(1)\) ist der Graph nicht achsensymmetrisch; wegen \(g(-1)=0\neq -2=-g(1)\) auch nicht punktsymmetrisch.
Der Denkfehler liegt in der Begründung: Symmetrie hängt nicht davon ab, dass Potenzen auftreten, sondern davon, ob alle auftretenden Exponenten dieselbe Parität haben. Hier mischt \(g\) einen geraden und einen ungeraden Exponenten — die beiden Symmetrien heben einander auf, und es bleibt keine übrig.
Fünf Aussagen zu Potenz-, Exponential- und Logarithmusfunktionen. Entscheide bei jeder, ob sie allgemein gilt.
Bewerte jede Aussage und lies danach die Begründung.
Winkelfunktionen — Herleitungen und Modellkritik
Am Einheitskreis (Radius \(1\), Mittelpunkt im Ursprung) gehört zu jedem Winkel \(x\) genau ein Punkt \(P\bigl(\cos(x)\,\big|\,\sin(x)\bigr)\) auf dem Kreis. Aus dieser Festlegung lassen sich mehrere Zusammenhänge herleiten, die man sonst nur auswendig lernt.
- Zeige mithilfe des Satzes des Pythagoras, dass \(\sin^{2}(x)+\cos^{2}(x)=1\) für jeden Winkel \(x\) gilt.
- Berechne daraus \(\cos(x)\) für einen spitzen Winkel mit \(\sin(x)=0{,}6\).
- Begründe anhand des Einheitskreises, warum \(\cos(x)=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\) gilt, und was das für die beiden Graphen bedeutet.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Der Punkt \(P\bigl(\cos(x)\,\big|\,\sin(x)\bigr)\) liegt auf dem Einheitskreis. Zusammen mit dem Ursprung \(O\) und dem Lotfußpunkt \(F\bigl(\cos(x)\,\big|\,0\bigr)\) entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten \(|\cos(x)|\) und \(|\sin(x)|\) sowie der Hypotenuse \(\overline{OP}=1\), denn \(\overline{OP}\) ist ein Radius.
Der Satz des Pythagoras liefert $$\cos^{2}(x)+\sin^{2}(x)=1^{2}=1.$$
Weil die Quadrate die Vorzeichen beseitigen, gilt die Gleichung in jedem Quadranten und damit für jeden Winkel \(x\) — auch für die Randfälle, in denen das Dreieck zu einer Strecke entartet, etwa \(x=0\) mit \(0+1=1\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Ansatz: \(\cos^{2}(x)=1-\sin^{2}(x)=1-0{,}6^{2}=1-0{,}36=0{,}64\).
$$\cos(x)=\pm\sqrt{0{,}64}=\pm 0{,}8$$
Für einen spitzen Winkel (\(0
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Der Winkel \(x+\frac{\pi}{2}\) gehört zu dem Punkt, der aus \(P\) durch eine Vierteldrehung gegen den Uhrzeigersinn hervorgeht. Bei dieser Drehung wird aus \((a\,|\,b)\) der Punkt \((-b\,|\,a)\); die alte \(x\)-Koordinate \(\cos(x)\) wird also zur neuen \(y\)-Koordinate. Da die \(y\)-Koordinate gerade der Sinus des neuen Winkels ist, folgt $$\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\cos(x).$$
Für die Graphen heißt das: Die Cosinuskurve ist die um \(\frac{\pi}{2}\) nach links verschobene Sinuskurve. Beide haben dieselbe Amplitude \(1\) und dieselbe Periode \(2\pi\) und unterscheiden sich ausschließlich durch diese Verschiebung. Deshalb genügt es, den Verlauf einer der beiden Kurven wirklich zu kennen.
Vier Funktionsklassen des Kapitels lassen sich an einer einzigen Frage unterscheiden: Wo steht die Variable \(x\)?
Arbeite dich durch den Entscheidungsbaum bis zum Blatt „Exponentialfunktion“.
In Hannover dauert der längste Tag des Jahres rund \(16{,}9\ \mathrm{h}\), der kürzeste rund \(7{,}6\ \mathrm{h}\). Die Tageslänge lässt sich näherungsweise durch eine allgemeine Sinusfunktion beschreiben: $$L(t)=a\cdot\sin\left(\frac{2\pi}{365}\,(t-d)\right)+c\qquad\text{mit}\quad [L]=\mathrm{h},$$ wobei \(t\) der Tag im Jahr ist (\(t=1\) entspricht dem 1. Januar) und \(d\) die waagerechte Verschiebung angibt.
- Bestimme die Parameter \(a\) und \(c\) aus der längsten und der kürzesten Tageslänge.
- Erläutere welche Bedeutung die Parameter \(a\), \(c\), \(d\) und der Faktor \(\frac{2\pi}{365}\) im Sachzusammenhang haben.
- Beurteile wie gut das Modell die Wirklichkeit beschreibt, und nenne mindestens zwei Grenzen.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Mittellinie: $$c=\frac{16{,}9+7{,}6}{2}=\frac{24{,}5}{2}=12{,}25$$ Amplitude: $$a=\frac{16{,}9-7{,}6}{2}=\frac{9{,}3}{2}=4{,}65$$
Also \(a=4{,}65\) und \(c=12{,}25\), das heißt \(L(t)=4{,}65\cdot\sin\left(\frac{2\pi}{365}(t-d)\right)+12{,}25\). Kontrolle: \(12{,}25+4{,}65=16{,}9\) ✓ und \(12{,}25-4{,}65=7{,}6\) ✓.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(a=4{,}65\ \mathrm{h}\): die Amplitude — um so viele Stunden weicht die Tageslänge höchstens vom Jahresmittel ab.
\(c=12{,}25\ \mathrm{h}\): die mittlere Tageslänge über das Jahr; um diesen Wert schwankt der Graph.
\(d\): die Verschiebung entlang der Zeitachse. Sie legt fest, an welchem Tag der Sinus seinen Nulldurchgang nach oben hat — das ist der Tag mit mittlerer Tageslänge und steigender Tendenz, also etwa die Frühjahrs-Tagundnachtgleiche um den 20. März (\(d\approx 79\)).
\(\frac{2\pi}{365}\): der Faktor \(b\), der die Periode festlegt: \(p=\frac{2\pi}{b}=365\). Er sorgt dafür, dass sich der Verlauf nach genau einem Jahr wiederholt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Dafür spricht: Die Tageslänge ändert sich tatsächlich periodisch mit dem Jahr, verläuft glatt und ohne Sprünge und besitzt genau ein Maximum und ein Minimum pro Jahr. Ein Sinusmodell trifft diese Grundstruktur sehr gut; die Abweichungen liegen meist im Bereich weniger Minuten.
Grenzen des Modells:
(1) Die Periode ist nicht exakt \(365\) Tage — Schaltjahre verschieben den Verlauf, sodass das Modell über mehrere Jahre hinweg auseinanderläuft.
(2) Die reale Kurve ist nicht perfekt symmetrisch: Wegen der elliptischen Erdbahn ist das Sommerhalbjahr etwas länger als das Winterhalbjahr, und die Tageslänge ändert sich um die Sonnenwenden langsamer, als ein Sinus es beschreibt.
(3) Die Parameter gelten nur für einen Ort: Am Äquator wäre \(a\approx 0\), jenseits der Polarkreise versagt das Modell ganz, weil dort Tageslängen von \(0\ \mathrm{h}\) und \(24\ \mathrm{h}\) über längere Zeiträume auftreten.
Urteil: Für Aussagen über den Jahresverlauf an einem festen Ort ist das Modell gut geeignet; für minutengenaue Vorhersagen oder für andere Breitengrade ist es zu grob.
Exponentialfunktionen — Wachstumsarten beurteilen
Ein Onlineforum diskutiert zwei Sparangebote: Bei A werden jedes Jahr \(200\ \text{€}\) auf das Startkapital \(2000\ \text{€}\) draufgelegt, bei B wächst dasselbe Startkapital jährlich um \(8\ \%\). Nils schreibt einen Kommentar dazu.
Markiere genau die Zeilen, in denen er sachlich falsch argumentiert.
Zwei Streamingdienste geben ihre Nutzerzahlen (in Millionen) seit dem Start an: $$N_{1}(t)=2+0{,}9\,t\qquad\text{und}\qquad N_{2}(t)=1\cdot 1{,}35^{\,t},\qquad [t]=\mathrm{a}.$$ Dienst 1 wirbt damit, „von Anfang an klar vorn“ zu liegen; Dienst 2 wirbt mit „dem stärksten Wachstum der Branche“.
- Vergleiche die beiden Modelle für \(t=0\), \(t=5\) und \(t=10\) und stelle die Werte gegenüber.
- Bestimme mit dem GTR den Zeitpunkt, ab dem Dienst 2 mehr Nutzer hat als Dienst 1.
- Beurteile beide Werbeaussagen und diskutiere, ob sich das Modell von Dienst 2 beliebig lange fortschreiben lässt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(N_{1}(0)=2\) und \(N_{2}(0)=1\).
\(N_{1}(5)=2+4{,}5=6{,}5\) und \(N_{2}(5)=1{,}35^{5}\approx 4{,}48\).
\(N_{1}(10)=2+9=11\) und \(N_{2}(10)=1{,}35^{10}\approx 20{,}1\).
Gegenüberstellung: Am Anfang und nach fünf Jahren liegt Dienst 1 vorn, nach zehn Jahren hat Dienst 2 ihn deutlich überholt — mit fast der doppelten Nutzerzahl. Der Vorsprung von Dienst 1 schrumpft also, obwohl seine Nutzerzahl weiter gleichmäßig steigt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Ansatz: \(2+0{,}9\,t=1{,}35^{\,t}\). Diese Gleichung enthält \(t\) sowohl linear als auch im Exponenten und lässt sich nicht algebraisch auflösen.
Im GTR werden beide Terme als \(Y_{1}\) und \(Y_{2}\) eingegeben; die Schnittpunktfunktion liefert \(t\approx 7{,}3\).
Ab dem achten Jahr hat Dienst 2 also mehr Nutzer. Kontrolle: \(N_{1}(7)=8{,}3\) gegenüber \(N_{2}(7)\approx 8{,}17\) — knapp Dienst 1; \(N_{1}(8)=9{,}2\) gegenüber \(N_{2}(8)\approx 11{,}03\) — Dienst 2 ✓.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Aussage von Dienst 1: „Von Anfang an klar vorn“ ist für die ersten sieben Jahre zutreffend, aber irreführend, weil sie den Eindruck einer dauerhaften Überlegenheit erweckt. Ab \(t\approx 7{,}3\) stimmt sie nicht mehr.
Aussage von Dienst 2: „Stärkstes Wachstum“ ist im Sinne der relativen Zunahme richtig — \(35\ \%\) pro Jahr sind mehr als bei jedem linearen Modell auf Dauer. In den ersten Jahren ist der absolute Zuwachs allerdings kleiner als bei Dienst 1 (\(0{,}35\) gegenüber \(0{,}9\) Millionen im ersten Jahr).
Grenzen des Modells: Für \(t=30\) liefert \(N_{2}(30)=1{,}35^{30}\approx 8100\) Millionen Nutzer — das wäre etwa die gesamte Weltbevölkerung. Unbegrenztes exponentielles Wachstum ist daher unrealistisch: Jeder Markt ist gesättigt, sobald fast alle möglichen Kundinnen und Kunden erreicht sind. Realistischer wäre ein Modell mit Sättigungsgrenze, dessen Graph sich einer waagerechten Asymptote annähert.
Fazit: Beide Werbeaussagen sind für sich genommen belegbar, aber jeweils nur für einen bestimmten Zeitraum bzw. eine bestimmte Lesart von „Wachstum“.
Logarithmusfunktionen — Umkehrung und Gesetze
Exponential- und Logarithmusfunktion zur selben Basis gehören zusammen wie Hin- und Rückweg.
Vervollständige den Text mit den passenden Bausteinen. Drei Bausteine bleiben übrig.
Die Logarithmusfunktion \(f(x)=\log_{2}(x)\) ist die der Exponentialfunktion \(g(x)=2^{x}\). Ihr Graph entsteht daher durch Spiegelung des Graphen von \(g\) an der Geraden . Beim Spiegeln tauschen Definitions- und Wertemenge die Rollen: Der Definitionsbereich von \(f\) besteht aus , der Wertebereich aus . Aus dem gemeinsamen Punkt \((0\,|\,1)\) der Exponentialfunktionen wird beim Spiegeln der Punkt , durch den jede Logarithmusfunktion verläuft. Für Basen größer als 1 ist \(f\) auf ihrem gesamten Definitionsbereich .
Die Logarithmusgesetze werden oft nur auswendig gelernt. Sie folgen aber vollständig aus den Potenzgesetzen und der Definition $$\log_{a}(b)=c\ \Longleftrightarrow\ a^{c}=b\qquad (a>0,\ a\neq 1,\ b>0).$$ In dieser Aufgabe leitest du zwei von ihnen selbst her.
- Zeige mithilfe der Definition und des Potenzgesetzes \(a^{r}\cdot a^{s}=a^{r+s}\), dass \(\log_{a}(u\cdot v)=\log_{a}(u)+\log_{a}(v)\) gilt.
- Zeige entsprechend, dass \(\log_{a}\left(u^{k}\right)=k\cdot\log_{a}(u)\) gilt.
- Entwickle aus den beiden Gesetzen die Basiswechselformel \(\log_{a}(b)=\frac{\log_{10}(b)}{\log_{10}(a)}\) und erkläre, wozu man sie am GTR braucht.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Setze \(r=\log_{a}(u)\) und \(s=\log_{a}(v)\). Nach Definition bedeutet das \(a^{r}=u\) und \(a^{s}=v\).
Multiplizieren beider Gleichungen und Anwenden des Potenzgesetzes liefert $$u\cdot v=a^{r}\cdot a^{s}=a^{r+s}.$$
Die Rückübersetzung in die Logarithmusschreibweise ergibt \(\log_{a}(u\cdot v)=r+s=\log_{a}(u)+\log_{a}(v)\). Der Logarithmus macht also aus einem Produkt eine Summe — genau das war früher der Zweck der Rechenschieber und Logarithmentafeln.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Sei erneut \(r=\log_{a}(u)\), also \(a^{r}=u\). Potenzieren mit \(k\) ergibt $$u^{k}=\left(a^{r}\right)^{k}=a^{r\cdot k}.$$
Rückübersetzt heißt das \(\log_{a}\left(u^{k}\right)=r\cdot k=k\cdot\log_{a}(u)\).
Der Exponent darf also vor den Logarithmus gezogen werden. Genau dieses Gesetz macht das Lösen von Exponentialgleichungen möglich: Aus \(2^{x}=50\) wird \(x\cdot\log(2)=\log(50)\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Nach Definition gilt \(a^{\log_{a}(b)}=b\). Anwenden des Zehnerlogarithmus auf beiden Seiten:
$$\log_{10}\left(a^{\log_{a}(b)}\right)=\log_{10}(b)$$
Mit dem Gesetz aus b) wandert der Exponent nach vorn: $$\log_{a}(b)\cdot\log_{10}(a)=\log_{10}(b)$$
Division durch \(\log_{10}(a)\) — erlaubt, da \(a\neq 1\) und damit \(\log_{10}(a)\neq 0\) — liefert $$\log_{a}(b)=\frac{\log_{10}(b)}{\log_{10}(a)}.$$
Wozu am GTR? Viele Rechner besitzen nur die Tasten \(\log\) (Basis 10) und \(\ln\) (Basis \(\mathrm{e}\)). Mit der Basiswechselformel lässt sich jeder Logarithmus auf diese beiden zurückführen, etwa \(\log_{3}(50)=\frac{\log(50)}{\log(3)}\approx 3{,}56\). Da die Formel mit jeder Hilfsbasis funktioniert, liefert auch \(\frac{\ln(50)}{\ln(3)}\) denselben Wert.