Drei Größen, drei Fragen
In \(a^{\,n}=b\) stecken Basis \(a\), Exponent \(n\) und Ergebnis \(b\). Je nachdem, welche Größe gesucht ist, rechnest du anders.
- \(b\) gesucht:Potenz ausrechnen, z. B. \(2^{3}=8\).
- \(a\) gesucht:Wurzel ziehen, z. B. \(a^{2}=49\Rightarrow a=\sqrt{49}=7\).
- \(n\) gesucht:Logarithmus, z. B. \(3^{\,n}=243\Rightarrow n=\log_{3}(243)=5\).
Wähle aus, welche der drei Größen gesucht ist — das Applet zeigt den passenden Rechenweg.
Umkehr-Frage: Was ist gesucht?
b gesucht: Die Potenz wird ausgerechnet. 2^3 = 2 · 2 · 2 = 8.
Halte fest: Nur für den gesuchten Exponenten brauchst du ein neues Werkzeug — den Logarithmus.
Die Umkehrung in einer Zeile
Beide Schreibweisen sagen dasselbe, einmal nach \(b\) und einmal nach \(n\) aufgelöst.
- In Worten:\(\log_{a}(b)\) ist der Exponent, mit dem du \(a\) potenzieren musst, um \(b\) zu erhalten.
- Beispiel:\(2^{5}=32\Longleftrightarrow\log_{2}(32)=5\).
Logarithmus: \(a^{\,n}=b\;\Longleftrightarrow\;n=\log_{a}(b)\)
Die Logarithmusfunktion
Wird die Zahl im Logarithmus veränderlich, entsteht eine Funktion.
- Basis:die feste Zahl klein unten am Logarithmuszeichen.
- Beispiele:\(\log_{2}(x)\), \(\log_{3}(x)\) und \(\log_{10}(x)\).
- Bedingungen:wie bei Exponentialfunktionen ist die Basis positiv und ungleich \(1\).
Logarithmusfunktion: \(f(x)=\log_{a}(x)\) mit \(a>0\) und \(a\neq 1\)
Allgemeine Hinweise
Nur positive Zahlen
\(\log_{a}(b)\) gibt es nur für \(b>0\). Keine Potenz \(a^{\,n}\) mit \(a>0\) ist null oder negativ.
Basis steht unten
In \(\log_{3}(81)\) ist \(3\) die Basis und \(81\) das Ergebnis der Potenz. Gesucht ist der Exponent: \(\log_{3}(81)=4\).
Rückwärts prüfen
Setze dein Ergebnis als Exponent ein. Zu \(\log_{2}(8)=3\) gehört die Probe \(2^{3}=8\).