Die untersuchte Funktion
Mit Faktoren und Summanden wird aus \(\sin(x)\) eine ganze Familie von Kurven. Wir untersuchen die Funktion mit den vier Parametern \(a\), \(b\), \(c\) und \(d\).
Jede Farbe gehört zu einem Parameter — dieselben Farben findest du in den folgenden Schaubildern wieder.
- Parameter a:Vorfaktor vor dem Sinus.
- Parameter b:Faktor im Argument, direkt vor der Klammer.
- Parameter c:wird in der Klammer zu \(x\) addiert.
- Parameter d:wird am Ende zum ganzen Term addiert.
Allgemeine Sinusfunktion: \(f(x)=a\cdot\sin\big(b\cdot(x+c)\big)+d\)
Parameter a
Der Vorfaktor \(a\) multipliziert jeden Funktionswert von \(\sin(x)\).
Die Pfeile zeigen, wie hoch die jeweilige Kurve über die \(x\)-Achse steigt: bei \(\sin(x)\) bis \(1\), bei \(3\cdot\sin(x)\) bis \(3\); die Kurve \(-0{,}5\cdot\sin(x)\) geht an dieser Stelle stattdessen bis \(-0{,}5\) nach unten.
- |a| > 1:Graph in \(y\)-Richtung gestreckt.
- 0 < |a| < 1:Graph in \(y\)-Richtung gestaucht.
- a < 0:Graph zusätzlich an der \(x\)-Achse gespiegelt.
- Nullstellen:bleiben gleich — wo \(\sin(x)=0\) ist, ist auch \(a\cdot\sin(x)=0\).
Amplitude: \(|a|\) — größter Abstand der Kurve von der Mittellinie
Parameter b
Der Faktor \(b\) wirkt auf die \(x\)-Werte. Er bestimmt die Periode \(p\), also den Abstand zweier gleicher Stellen der Kurve.
Die Messlinien laufen jeweils von einem Tiefpunkt zum nächsten: bei \(\sin(x)\) ist \(p=2\pi\), bei \(\sin(2x)\) nur noch \(p=\pi\).
- |b| > 1:Graph in \(x\)-Richtung gestaucht, die Periode wird kürzer.
- 0 < |b| < 1:Graph in \(x\)-Richtung gestreckt, die Periode wird länger.
- b < 0:Graph zusätzlich an der \(y\)-Achse gespiegelt.
- Beispiel:\(b=1\): \(p=2\pi\); \(b=2\): \(p=\pi\).
Periode: \(p=\dfrac{2\pi}{|b|}\)
Parameter c
Der Parameter \(c\) schiebt die ganze Kurve waagerecht. Form und Höhe bleiben gleich.
\(\sin(x-1)\) ist um \(1\) nach rechts gewandert, \(\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)\) um \(\frac{\pi}{2}\approx 1{,}57\).
- c > 0:Verschiebung nach links.
- c < 0:Verschiebung nach rechts.
- Beispiel:\(\sin(x-1)=\sin\big(x+(-1)\big)\), also \(c=-1\): um \(1\) nach rechts.
Verschiebung in x-Richtung: um \(-c\), also bei \(x+c\) um \(c\) nach links
Parameter d
Der Summand \(d\) wird zu jedem Funktionswert addiert. Die Kurve hebt oder senkt sich, die Form bleibt.
\(\sin(x)+2\) liegt um \(2\) höher, \(\sin(x)-1\) um \(1\) tiefer. Die Pfeile messen die Verschiebung an einer Nullstelle von \(\sin(x)\).
- d > 0:Verschiebung nach oben.
- d < 0:Verschiebung nach unten.
- Mittellinie:die Welle schwingt um die Gerade \(y=d\).
Wertebereich: \(W=[\,d-|a|\,;\,d+|a|\,]\)
Stelle alle vier Parameter selbst ein. Die graue Kurve \(\sin(x)\) bleibt zum Vergleich. Lass \(c\) und \(d\) zunächst auf \(0\).
Sinus-Parameterlabor
Jeder Regler gehört zu einem Parameter aus \(f(x)= a\cdot\sin\big(b\cdot(x+c)\big)+d\). Mit dem Knopf stellst du alles wieder auf die Ausgangskurve \(\sin(x)\) zurück.
f(x) = sin(x). Alle Parameter stehen auf ihrem Ausgangswert.
Bei negativem \(a\) klappt die Kurve um, die Amplitude bleibt positiv. Je größer \(|b|\), desto kürzer die Periode \(\frac{2\pi}{|b|}\).
Allgemeine Hinweise
Vorzeichen von c
Ein Plus in der Klammer schiebt nach links. Bei \(\sin(x-1)\) ist \(c=-1\), die Kurve wandert nach rechts.
b staucht
Großes \(|b|\) macht die Wellen enger, nicht breiter. Die Periode ist \(\frac{2\pi}{|b|}\).
Reihenfolge
Lies zuerst \(d\) und \(a\) für die Höhe ab. Dann folgen \(b\) und \(c\) für die Lage auf der \(x\)-Achse.