Nur die Basis verändern
Du untersuchst \(f(x)=\log_{a}(x)\) für \(a=1,\dots,15\): Was ändert sich, was bleibt gleich?
- Globalverhalten:Wie verläuft der Graph ganz links und ganz rechts? Steigt oder fällt er?
- Symmetrie:achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung?
- Besondere Punkte:Gibt es Punkte, durch die jeder dieser Graphen geht?
Ziehe den Regler von \(a=1\) bis \(a=15\) und beobachte, was gleich bleibt. Der violette Punkt \((a\,|\,1)\) wandert mit.
Schieberegler für die Basis a
Für a = 2 steigt der Graph streng monoton. Er ist nur für x > 0 definiert, geht durch (1 | 0) und hat die y-Achse als senkrechte Asymptote.
Halte fest: Jeder Graph liegt rechts der \(y\)-Achse und geht durch \((1\,|\,0)\). Je größer \(a\), desto flacher steigt er — für \(a=1\) gibt es keinen Graphen.
Die Eigenschaften in der Tabelle
Es gibt genau zwei Fälle: den Sonderfall \(a=1\) und alle Basen \(a=2,3,\dots,15\).
| a | Globalverhalten | Symmetrie | Besondere Punkte | Graph der Funktion |
|---|---|---|---|---|
| \(a=1\) | Kein Globalverhalten, denn es gibt keine Funktion: \(1^{n}=1\) für jedes \(n\), also lässt sich \(\log_{1}(x)\) für kein \(x\neq 1\) bestimmen. | Keine, es gibt keinen Graphen. | Keine. | |
| \(a>1\) (\(a=2,\dots,15\)) | Nur für \(x>0\) definiert und dort streng monoton steigend. Für \(x\to 0\) von rechts fällt \(f(x)\to-\infty\); die \(y\)-Achse ist senkrechte Asymptote. Für \(x\to+\infty\) wächst \(f(x)\) über alle Grenzen, aber immer langsamer. | Keine: weder achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung — links von \(x=0\) gibt es überhaupt keine Kurve. | \((1\,|\,0)\) für jedes \(a\), denn \(a^{0}=1\). Außerdem \((a\,|\,1)\), denn \(a^{1}=a\). Die einzige Nullstelle ist \(x=1\), einen \(y\)-Achsenabschnitt gibt es nicht. |
\(f(x)=\log_{a}(x)\) mit \(a>1\): nur für \(x>0\) definiert, streng monoton steigend, durch \((1\,|\,0)\) und \((a\,|\,1)\), \(y\)-Achse als Asymptote
Zusatz: Warum es für negative Basen keinen Graphen gibt
\(\log_{a}(x)\) ist die Zahl \(n\) mit \(a^{\,n}=x\). Setze \(a=-2\) ein.
- Ganze \(n\):\((-2)^{1}=-2\), \((-2)^{2}=4\), \((-2)^{3}=-8\) — die Werte springen zwischen negativ und positiv.
- \(n=0{,}5\):\((-2)^{0,5}=\sqrt{-2}\) existiert nicht.
- Ergebnis:zu den meisten \(x\) gibt es kein passendes \(n\) — nur einzelne Punkte statt einer Kurve. Deshalb wird \(a>0\) verlangt.
Allgemeine Hinweise
Kein Wert für \(x\le 0\)
\(\log_{a}(0)\) und \(\log_{a}(-4)\) gibt es nicht. Der Graph liegt komplett rechts der \(y\)-Achse.
Langsam, aber ohne Grenze
Der Graph steigt nach rechts immer langsamer, aber immer weiter. Eine waagerechte Asymptote gibt es nicht.
Punkt \((a\,|\,1)\)
Wegen \(a^{1}=a\) liegt \((a\,|\,1)\) immer auf dem Graphen. Mit \((1\,|\,0)\) hast du zwei sichere Punkte für die Skizze.