MINT lernen

Graph und Eigenschaften

Sinus und Cosinus in einem gemeinsamen Schaubild: Du liest ab, welche Werte überhaupt vorkommen — und entdeckst die Symmetrie, die beide Kurven mitbringen.

1

Das gemeinsame Schaubild von sin(x) und cos(x)

Trägst du die Werte vom Einheitskreis über dem Winkel auf, entsteht ein Schaubild. Auf der \(x\)-Achse steht der Winkel im Bogenmaß.

Sinus und Cosinus über einer vollen Umdrehung
Sinus und Cosinus im gemeinsamen Schaubildxy1−1012−1214π12π34ππ54π32π74π2πsin(x)cos(x)

Die \(x\)-Achse ist in Schritten von \(\frac{1}{4}\pi\) unterteilt. Die rote durchgezogene Kurve ist sin(x), die blau gestrichelte Kurve ist cos(x).

  • sin(x):\(0\) bei \(0\), Hochpunkt \(1\) bei \(\frac{1}{2}\pi\), Nullstelle bei \(\pi\), Tiefpunkt \(-1\) bei \(\frac{3}{2}\pi\), Nullstelle bei \(2\pi\).
  • cos(x):\(1\) bei \(0\), Nullstelle bei \(\frac{1}{2}\pi\), Tiefpunkt \(-1\) bei \(\pi\), Nullstelle bei \(\frac{3}{2}\pi\), wieder \(1\) bei \(2\pi\).
  • Form:beide Kurven haben dieselbe Wellenform, nur gegeneinander verschoben.
Merke

Eine Welle: \(\sin(x)\) und \(\cos(x)\) durchlaufen von \(0\) bis \(2\pi\) genau eine volle Welle

2

Definitionsbereich und Wertebereich

Ein Winkel lässt sich beliebig weiterdrehen, auch ins Negative. Nach oben und unten begrenzt die Zeigerlänge \(1\) die Werte.

Unbegrenzt nach links und rechts, begrenzt nach oben und unten
Definitionsbereich und Wertebereichxy−2π−ππ2π1−1Wertebereich W = [−1 ; 1]Definitionsbereich D = ℝ — nach links und rechts geht es unbegrenzt weiter

Beide Kurven bleiben im Band zwischen \(-1\) und \(1\), laufen aber nach links und rechts immer weiter.

  • Definitionsbereich:\(D=\mathbb R\) — du darfst jede Zahl einsetzen.
  • Wertebereich:\(W=[-1\,;\,1]\) — mehr als die Zeigerlänge \(1\) geht nicht.
  • Gültigkeit:beides gilt für \(\sin(x)\) und \(\cos(x)\) gleichermaßen.
Merke

Sinus und Cosinus: \(D=\mathbb R\), \(W=[-1\,;\,1]\)

3

Die Symmetrie der beiden Kurven

Vergleiche die Stelle \(x\) mit der gespiegelten Stelle \(-x\). Die beiden Kurven verhalten sich dabei unterschiedlich.

Punktsymmetrie und Achsensymmetrie
Punktsymmetrie beim Sinus, Achsensymmetrie beim Cosinussin(x) ist punktsymmetrischx−xDrehung um 180° um den Ursprungsin(x) = −sin(−x)cos(x) ist achsensymmetrischx−xSpiegelung an der y-Achsecos(x) = cos(−x)

Links: die Punkte bei \(x\) und bei \(-x\) liegen spiegelbildlich zum Ursprung. Rechts: sie liegen gleich hoch, gespiegelt an der y-Achse.

  • Sinus:punktsymmetrisch zum Ursprung — um \(180^\circ\) gedreht liegt die Kurve wieder auf sich.
  • Cosinus:achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse — an der \(y\)-Achse geklappt passt sie auf sich.
  • Beispiel:\(\sin\left(-\frac{1}{2}\pi\right)=-1=-\sin\left(\frac{1}{2}\pi\right)\), aber \(\cos(-\pi)=-1=\cos(\pi)\).
Merke

Symmetrie: \(\sin(-x)=-\sin(x)\) und \(\cos(-x)=\cos(x)\)

Schieb den violetten Punkt mit Maus, Regler oder Pfeiltasten. Rechts liest du \(\sin(x)\) und \(\cos(x)\) auf zwei Skalen ab.

Kurven-Leser

Mit dem Umschalter blendest du zusätzlich die Stelle \(-x\) ein und vergleichst die Werte dort mit denen an der Stelle \(x\).

xy−2π−32π−π−12π12ππ32π2π1−1−xxAblesen bei xsin(x)10−1cos(x)10−10,001,00x = 0

An der Stelle x = ¼π liest du sin(x) und cos(x) ab.

Beide Marken bleiben immer zwischen \(-1\) und \(1\). Mit der Spiegelung siehst du: Der Sinus wechselt bei \(-x\) das Vorzeichen, der Cosinus nicht.

4

Allgemeine Hinweise

Werte über 1

Ein Ergebnis wie \(\sin(x)=1{,}4\) gibt es nicht. Dann hast du dich verrechnet.

Bogenmaß auf der Achse

Auf der \(x\)-Achse stehen Zahlen wie \(\pi\approx3{,}14\). Gradangaben gehören dort nicht hin.

Startwert merken

Der Sinus startet bei \(0\), der Cosinus bei \(1\). Daran unterscheidest du die Kurven sofort.

Zum Weiterschauen

Videos