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Übung — AFB IFunktionen

Zehn gemischte Aufgaben quer durch Kapitel 2: Wertetabellen, Symmetrie, Seitenverhältnisse am rechtwinkligen Dreieck, Wachstumsfaktoren und Logarithmen im Kopf.

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Potenzfunktionen — Werte, Symmetrie, Umkehrrechnung

Diese Übung greift auf alle vier Abschnitte von Kapitel 2 zu: Potenz-, Winkel-, Exponential- und Logarithmusfunktionen. Zehn Aufgaben der Anforderungsstufe AFB I — Formel kennen, Werte einsetzen, ausrechnen. Das sind die sicheren Punkte in jeder Klausur. Fünf Aufgaben löst du direkt am Bildschirm, fünf sind Textaufgaben im Klausurformat mit Hinweis und Erwartungshorizont.

A1Wertetabelle zu zwei PotenzfunktionenAFB I

Gegeben sind \(f(x)=x^{3}\) und \(g(x)=x^{-2}=\frac{1}{x^{2}}\).

Berechne alle fehlenden Funktionswerte. Schreibe Brüche als Dezimalzahl.

Fülle alle Felder aus und prüfe dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls.
\(x\)\(f(x)=x^{3}\)\(g(x)=x^{-2}\)
\(-2\)
\(-1\)
\(0{,}5\)
\(1\)
\(2\)
In der \(f\)-Spalte wechselt das Vorzeichen mit der Stelle: \((-2)^{3}=-8\), aber \(2^{3}=8\) — ungerader Exponent, punktsymmetrischer Graph. In der \(g\)-Spalte stehen bei \(-2\) und \(2\) dieselben Werte, denn der gerade Exponent im Nenner macht jeden Wert positiv. Die Stelle \(x=0\) fehlt in der Tabelle, weil \(g\) dort nicht definiert ist.
A2Würfelförmige WassertanksAFB I

Ein Hersteller baut würfelförmige Regenwassertanks. Aus der Kantenlänge \(a\) in Metern ergibt sich das Fassungsvermögen über die Potenzfunktion $$V(a)=a^{3}\qquad\text{mit}\quad [V]=\mathrm{m}^{3}.$$ Im Katalog stehen die Kantenlängen \(1\ \mathrm{m}\), \(2\ \mathrm{m}\) und \(3\ \mathrm{m}\).

  1. Berechne das Fassungsvermögen der drei Katalogtanks.
  2. Gib an den Exponenten der Potenzfunktion sowie die Definitionsmenge, die im Sachzusammenhang sinnvoll ist.
  3. Berechne die Kantenlänge eines Sondertanks mit \(V=64\ \mathrm{m}^{3}\).
Hinweis zu Aufgabe a)
Setze die Kantenlängen nacheinander in \(V(a)=a^{3}\) ein. Die dritte Potenz bedeutet: die Zahl dreimal mit sich selbst multiplizieren.Beim Operator „Berechne“ gehören Ansatz, Rechnung und das Ergebnis mit Einheit dazu.
Hinweis zu Aufgabe b)
Vergleiche \(V(a)=a^{3}\) mit der allgemeinen Form \(f(x)=x^{n}\). Überlege beim Definitionsbereich, welche Kantenlängen ein echter Tank haben kann.„Gib an“ verlangt nur die Angabe ohne Herleitung — dafür aber vollständig.
Hinweis zu Aufgabe c)
Hier läuft die Rechnung rückwärts: Gesucht ist die Zahl, deren dritte Potenz \(64\) ergibt. Ziehe die dritte Wurzel.Auch bei der Umkehrrechnung verlangt „Berechne“ den vollständigen Weg mit Einheit.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Ansatz: \(V(a)=a^{3}\).

\(V(1)=1^{3}=1\), also \(1\ \mathrm{m}^{3}\). \(V(2)=2^{3}=8\), also \(8\ \mathrm{m}^{3}\). \(V(3)=3^{3}=27\), also \(27\ \mathrm{m}^{3}\). Die drei Tanks fassen demnach 1 m³, 8 m³ und 27 m³.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Der Exponent ist \(n=3\). Rein mathematisch wäre \(D=\mathbb{R}\); im Sachzusammenhang sind nur positive Kantenlängen sinnvoll, also \(D=\mathbb{R}^{+}\) bzw. \(a>0\), denn ein Tank muss eine Ausdehnung haben.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Ansatz: \(64=a^{3}\). Die dritte Wurzel macht das Potenzieren rückgängig: $$a=\sqrt[3]{64}=64^{\frac{1}{3}}=4$$ Die Kantenlänge beträgt also \(4\ \mathrm{m}\). Probe: \(4^{3}=64\) ✓.

A3Symmetrie auf einen BlickAFB I

Der Graph einer Potenzfunktion \(f(x)=x^{n}\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, wenn \(n\) gerade ist, und punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn \(n\) ungerade ist. Die Wurzelfunktion hat weder das eine noch das andere.

Ordne jeder Funktion ihre Symmetrieeigenschaft zu — genau ein Kreuz pro Zeile.

Setze in jeder Zeile genau ein Kreuz. Enter setzt und löscht.
achsensymmetrisch zur \(y\)-Achsepunktsymmetrisch zum Ursprungkeine der beiden
\(f(x)=x^{2}\)
\(f(x)=x^{3}\)
\(f(x)=x^{4}\)
\(f(x)=x^{-3}\)
\(f(x)=x^{-2}\)
\(f(x)=\sqrt{x}\)
Entscheidend ist allein, ob der Exponent gerade oder ungerade ist — das Vorzeichen des Exponenten spielt dabei keine Rolle: \(x^{-2}\) verhält sich wie \(x^{2}\), \(x^{-3}\) wie \(x^{3}\). Die Wurzelfunktion \(f(x)=x^{\frac{1}{2}}\) ist nur für \(x\ge 0\) definiert; weil die linke Hälfte des Graphen fehlt, kann sie zu keiner der beiden Symmetrien passen.
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Winkelfunktionen — Seitenverhältnisse und Sinuskurve

A4Rampe am SchulgebäudeAFB I

Eine Rollstuhlrampe bildet mit dem waagerechten Boden den Steigungswinkel \(\alpha\). Die Rampe (Hypotenuse) ist \(5{,}0\ \mathrm{m}\) lang, sie überwindet eine Höhe von \(3{,}0\ \mathrm{m}\); die waagerechte Strecke am Boden misst \(4{,}0\ \mathrm{m}\). Im rechtwinkligen Dreieck gilt $$\sin\alpha=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}},\quad \cos\alpha=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}},\quad \tan\alpha=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}.$$

  1. Berechne \(\sin\alpha\), \(\cos\alpha\) und \(\tan\alpha\) als Bruch und als Dezimalzahl.
  2. Bestimme den Steigungswinkel \(\alpha\) mit dem GTR auf eine Nachkommastelle genau.
  3. Gib an welche der drei Größen \(\sin\alpha\), \(\cos\alpha\), \(\tan\alpha\) größer als 1 werden kann und welche nicht.
Hinweis zu Aufgabe a)
Ordne zuerst zu: Gegenkathete ist die Höhe (3,0 m), Ankathete die Bodenstrecke (4,0 m), Hypotenuse die Rampe (5,0 m). Dann nur noch einsetzen.Seitenverhältnisse sind Zahlen ohne Einheit — die Meter kürzen sich weg.
Hinweis zu Aufgabe b)
Nutze die Umkehrtaste \(\sin^{-1}\) (oft 2nd + sin). Achte darauf, dass der GTR im Gradmaß (DEG) rechnet.„Bestimme“ heißt: Lösungsweg zeigen und Ergebnis formulieren.
Hinweis zu Aufgabe c)
Überlege, welche Seite im rechtwinkligen Dreieck immer die längste ist — und was das für die Brüche bedeutet.„Gib an“ verlangt die Antwort ohne ausführliche Herleitung.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(\sin\alpha=\frac{3{,}0}{5{,}0}=\frac{3}{5}=0{,}6\); \(\cos\alpha=\frac{4{,}0}{5{,}0}=\frac{4}{5}=0{,}8\); \(\tan\alpha=\frac{3{,}0}{4{,}0}=\frac{3}{4}=0{,}75\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Ansatz: \(\alpha=\sin^{-1}(0{,}6)\). Der GTR liefert \(\alpha\approx 36{,}9^{\circ}\). Kontrolle über den Tangens: \(\tan^{-1}(0{,}75)\approx 36{,}9^{\circ}\) ✓.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Sinus und Cosinus haben die Hypotenuse im Nenner. Da die Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck immer die längste Seite ist, sind beide Brüche kleiner als 1 — es gilt stets \(-1\le\sin\alpha\le 1\) und \(-1\le\cos\alpha\le 1\). Nur der Tangens kann größer als 1 werden, nämlich sobald die Gegenkathete länger als die Ankathete ist (also für \(\alpha>45^{\circ}\)).

A5Wichtige Werte von Sinus und CosinusAFB I

Am Einheitskreis liest du die Werte für die wichtigen Winkel direkt ab: \(0\), \(\frac{\pi}{2}\) (90°), \(\pi\) (180°) und \(\frac{3\pi}{2}\) (270°).

Finde die Paare aus Term und zugehörigem Wert.

Decke immer zwei Karten auf. Passen sie zusammen, bleiben sie offen liegen.
Am Einheitskreis ist \(\cos\) die \(x\)-Koordinate und \(\sin\) die \(y\)-Koordinate des Punktes. Bei \(0\) steht der Punkt bei \((1\,|\,0)\), bei \(\frac{\pi}{2}\) bei \((0\,|\,1)\), bei \(\pi\) bei \((-1\,|\,0)\) und bei \(\frac{3\pi}{2}\) bei \((0\,|\,-1)\). Zwei Paare sind bewusst in Worten formuliert: Der größte Wert ist \(1\), der kleinste \(-1\) — das sind genau die Ränder des Wertebereichs.
A6Gestreckte SinuskurveAFB I

Gegeben ist die Funktion $$f(x)=2\cdot\sin(x)\qquad\text{mit}\quad D_{f}=\mathbb{R}.$$ Ihr Graph entsteht aus der gewöhnlichen Sinuskurve, indem jeder Funktionswert verdoppelt wird.

  1. Gib an Amplitude und Periode von \(f\).
  2. Berechne die Funktionswerte \(f(0)\), \(f\left(\frac{\pi}{2}\right)\) und \(f(\pi)\).
  3. Gib an die Wertemenge \(W_{f}\) sowie alle Nullstellen im Intervall \([0;2\pi]\).
Hinweis zu Aufgabe a)
Die Amplitude ist der Vorfaktor vor dem Sinus — er sagt, wie weit der Graph nach oben und unten ausschlägt. Die Periode verändert sich hier nicht.„Gib an“ heißt: beide Größen nennen, ohne Herleitung.
Hinweis zu Aufgabe b)
Bestimme zuerst den Sinuswert und multipliziere ihn danach mit 2.Beim Operator „Berechne“ gehören Ansatz, Rechnung und Ergebnis dazu.
Hinweis zu Aufgabe c)
Die Wertemenge folgt direkt aus der Amplitude. Nullstellen hat \(f\) genau dort, wo auch \(\sin(x)\) null ist — der Faktor 2 ändert daran nichts.Vollständig heißt hier: alle Nullstellen des angegebenen Intervalls.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Die Amplitude ist \(a=2\). Die Periode beträgt \(p=2\pi\), denn der Faktor steht vor dem Sinus und nicht bei \(x\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(f(0)=2\cdot\sin(0)=2\cdot 0=0\).

\(f\left(\frac{\pi}{2}\right)=2\cdot 1=2\).

\(f(\pi)=2\cdot 0=0\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(W_{f}=[-2;\,2]\), weil der Sinus zwischen \(-1\) und \(1\) schwankt und alles verdoppelt wird.

Nullstellen: \(2\sin(x)=0 \Leftrightarrow \sin(x)=0\), also \(x_{1}=0\), \(x_{2}=\pi\) und \(x_{3}=2\pi\).

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Exponentialfunktionen — Wachstum berechnen

A7Werte der Funktion \(f(x)=2^{x}\)AFB I

Bei der Exponentialfunktion \(f(x)=2^{x}\) steht die Variable im Exponenten, die Basis ist fest. Für negative Exponenten gilt \(2^{-k}=\frac{1}{2^{k}}\).

Fülle die Wertetabelle vollständig aus. Brüche bitte als Dezimalzahl.

Fülle alle Felder aus und prüfe dann auf einmal.
\(x\)\(-2\)\(-1\)\(0\)\(1\)\(3\)
\(2^{x}\)
\(2^{0}=1\) — jede Exponentialfunktion geht durch den Punkt \((0\,|\,1)\). Nach rechts verdoppelt sich der Wert bei jedem Schritt, nach links halbiert er sich: \(2^{-1}=\frac{1}{2}=0{,}5\) und \(2^{-2}=\frac{1}{4}=0{,}25\). Negativ wird der Funktionswert nie — die \(x\)-Achse ist die waagerechte Asymptote.
A8Bakterien in der PetrischaleAFB I

In einer Petrischale verdoppelt sich die Anzahl der Bakterien jede Stunde. Zu Beginn der Beobachtung (\(t=0\)) sind es \(100\) Bakterien. Die Anzahl nach \(t\) Stunden beschreibt $$N(t)=100\cdot 2^{t}\qquad\text{mit}\quad [t]=\mathrm{h}.$$

  1. Berechne die Bakterienzahl nach \(3\) und nach \(5\) Stunden.
  2. Gib an den Anfangsbestand und den Wachstumsfaktor pro Stunde.
  3. Bestimme durch Probieren, nach wie vielen vollen Stunden erstmals mehr als \(1500\) Bakterien vorhanden sind.
Hinweis zu Aufgabe a)
Setze \(t=3\) bzw. \(t=5\) ein und rechne zuerst die Potenz aus, danach die Multiplikation.Punkt-vor-Strich gilt auch hier: Die Potenz wird vor dem Malnehmen berechnet.
Hinweis zu Aufgabe b)
Der Anfangsbestand steht als Faktor vor der Potenz, der Wachstumsfaktor ist die Basis.„Gib an“ verlangt beide Werte, ohne Rechnung.
Hinweis zu Aufgabe c)
Lege eine kleine Wertetabelle für \(t=1,2,3,\dots\) an und vergleiche jeweils mit \(1500\).„Bestimme“ erlaubt hier ausdrücklich das systematische Probieren als Lösungsweg.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(N(3)=100\cdot 2^{3}=100\cdot 8=800\) Bakterien.

\(N(5)=100\cdot 2^{5}=100\cdot 32=3200\) Bakterien.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Der Anfangsbestand ist \(N(0)=100\cdot 2^{0}=100\) Bakterien. Der Wachstumsfaktor ist \(2\) pro Stunde, die Anzahl verdoppelt sich also stündlich.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Wertetabelle: \(N(1)=200\), \(N(2)=400\), \(N(3)=800\), \(N(4)=1600\).

Bei \(t=3\) sind es erst \(800\), bei \(t=4\) bereits \(1600>1500\). Nach 4 vollen Stunden ist die Marke also erstmals überschritten.

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Logarithmusfunktionen — den Exponenten finden

A9Logarithmen im KopfAFB I

Der Logarithmus beantwortet die Frage: Mit welchem Exponenten muss ich die Basis potenzieren? Es gilt \(\log_{a}(b)=c \Leftrightarrow a^{c}=b\).

Verbinde jeden Logarithmus mit seinem Wert.

Klicke links einen Begriff und danach rechts die passende Beschreibung.
Jede Zeile ist eine umgeschriebene Potenzgleichung: \(2^{3}=8\), \(2^{0}=1\), \(10^{2}=100\), \(3^{4}=81\), \(2^{-1}=0{,}5\) und \(7^{1}=7\). Zwei Werte solltest du dir für jede Basis merken: \(\log_{a}(1)=0\) und \(\log_{a}(a)=1\). Ein negativer Logarithmus entsteht immer dann, wenn das Argument zwischen 0 und 1 liegt.
A10Exponentialgleichungen mit dem Logarithmus lösenAFB I

Steht die gesuchte Größe im Exponenten, hilft der Logarithmus. Aus \(a^{x}=b\) mit \(a>0,\ a\neq 1\) und \(b>0\) folgt $$x=\log_{a}(b).$$ Mit dem GTR rechnest du solche Werte über die Taste log bzw. über die Basisumrechnung.

  1. Berechne die Lösung von \(2^{x}=32\) ohne GTR.
  2. Berechne die Lösung von \(10^{x}=0{,}001\) ohne GTR.
  3. Bestimme die Lösung von \(3^{x}=50\) mit dem GTR auf zwei Nachkommastellen.
Hinweis zu Aufgabe a)
Schreibe \(32\) als Zweierpotenz. Dann kannst du die Exponenten direkt vergleichen.Beim Operator „Berechne“ gehören Ansatz, Rechnung und Ergebnis dazu.
Hinweis zu Aufgabe b)
\(0{,}001\) ist ein Bruch mit Zehnerpotenz im Nenner — und ein Bruch verlangt bei Basis 10 einen negativen Exponenten.Kontrolliere am Ende mit einer Probe.
Hinweis zu Aufgabe c)
Hier geht es nicht mehr im Kopf: Nutze \(x=\log_{3}(50)\) bzw. \(x=\frac{\log(50)}{\log(3)}\).„Bestimme“ heißt: Lösungsweg zeigen und das gerundete Ergebnis angeben.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Ansatz: \(2^{x}=32\). Es ist \(32=2^{5}\), also \(2^{x}=2^{5}\) und damit \(x=5\).

In Logarithmusschreibweise: \(x=\log_{2}(32)=5\). Probe: \(2^{5}=32\) ✓.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Ansatz: \(10^{x}=0{,}001\). Es ist \(0{,}001=\frac{1}{1000}=\frac{1}{10^{3}}=10^{-3}\), also \(x=-3\).

In Logarithmusschreibweise: \(x=\log_{10}(0{,}001)=-3\). Probe: \(10^{-3}=0{,}001\) ✓.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Ansatz: \(3^{x}=50 \Rightarrow x=\log_{3}(50)=\frac{\log(50)}{\log(3)}\).

Der GTR liefert \(x\approx 3{,}56\). Probe: \(3^{3{,}56}\approx 50{,}0\) ✓. Das passt zur Abschätzung \(3^{3}=27\) und \(3^{4}=81\) — die Lösung muss zwischen 3 und 4 liegen.