Alles, was in Kapitel 5 vorkam, auf einer Seite: die drei Ableitungsstufen und ihre Bedeutung, die Kriterien für Monotonie, Extrem- und Wendestellen, das Sieben-Schritte-Schema für Extremwertaufgaben und die Bausteine für einen vollständigen Antwortsatz. Zum Wiederholen am Abend vor der Klausur gedacht — nicht zum ersten Lernen.
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Der Werkzeugkasten: \(f\), \(f'\) und \(f''\)
Jede Ableitungsstufe beantwortet eine andere Frage über den Graphen. Wer diese Tabelle im Kopf hat, kann fast jede Teilaufgabe des Kapitels einordnen.
| Was man kennt | Was es über \(G_f\) sagt | Typische Frage |
|---|---|---|
| \(f(x)\) | Höhe des Graphen an der Stelle \(x\) | Wie hoch liegt der Punkt? Nullstellen? |
| \(f'(x)\) | Steigung der Tangente, Steigen und Fallen | Monotonie, Extremstellen, Tangenten |
| \(f''(x)\) | Krümmung: links (\(>0\)) oder rechts (\(<0\)) | Art der Extremstelle, Wendestellen |
| \(f'''(x)\) | Änderung der Krümmung | Nachweis einer Wendestelle (\(f'''\neq 0\)) |
Merksatz: \(f'\) beschreibt wohin der Graph läuft, \(f''\) beschreibt, wie er sich dabei dreht.
Die Ableitungsregeln aus 5.0.1 werden vorausgesetzt:
Potenzregel: \(f(x)=x^{n}\;\Rightarrow\;f'(x)=n\,x^{n-1}\)
Faktorregel: \(f(x)=c\cdot g(x)\;\Rightarrow\;f'(x)=c\cdot g'(x)\)
Summenregel: \(f(x)=g(x)+h(x)\;\Rightarrow\;f'(x)=g'(x)+h'(x)\)
Konstante: \(f(x)=c\;\Rightarrow\;f'(x)=0\)
Faktorregel: \(f(x)=c\cdot g(x)\;\Rightarrow\;f'(x)=c\cdot g'(x)\)
Summenregel: \(f(x)=g(x)+h(x)\;\Rightarrow\;f'(x)=g'(x)+h'(x)\)
Konstante: \(f(x)=c\;\Rightarrow\;f'(x)=0\)
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Monotonie
Monotoniekriterium. Ist \(f'(x)>0\) für alle \(x\) eines Intervalls \(I\), so ist \(f\) auf \(I\) streng monoton steigend.
Ist \(f'(x)<0\) für alle \(x\in I\), so ist \(f\) auf \(I\) streng monoton fallend.
Ist \(f'(x)<0\) für alle \(x\in I\), so ist \(f\) auf \(I\) streng monoton fallend.
Vorgehen in vier Schritten
- Ableiten und \(f'(x)=0\) lösen — das sind die möglichen Grenzen der Intervalle.
- Zahlengerade einteilen: Die Nullstellen von \(f'\) zerlegen den Definitionsbereich.
- Probestelle aus jedem Teilintervall in \(f'\) einsetzen und nur das Vorzeichen notieren.
- Antwortsatz mit Intervall in eckigen Klammern, Fachbegriff und Begründung.
Vorzeichentabelle (Beispiel \(f(x)=x^{3}-3x\), also \(f'(x)=3(x-1)(x+1)\)):
| Intervall | \(]-\infty;-1[\) | \(]-1;1[\) | \(]1;\infty[\) |
|---|---|---|---|
| Probestelle | \(-2\) | \(0\) | \(2\) |
| \(f'(x)\) | \(+9>0\) | \(-3<0\) | \(+9>0\) |
| \(G_f\) | steigt | fällt | steigt |
Sprachfalle: Monoton ist die Funktion auf einem Intervall — nicht „der Punkt“, nicht „die Ableitung“. Und die Intervallgrenzen gehören zum Monotonieintervall dazu: \([1;\infty[\), nicht \(]1;\infty[\).
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Extremstellen
Notwendige Bedingung. Hat \(f\) an der Stelle \(x_0\) eine Extremstelle und ist \(f\) dort differenzierbar, so gilt \(f'(x_0)=0\).
Die Umkehrung gilt nicht!
Die Umkehrung gilt nicht!
\(f'(x)=0\) liefert also nur eine Kandidatenliste. Welches Kriterium entscheidet, hängt vom Fall ab:
| Kriterium | Bedingung | Ergebnis | Wann benutzen? |
|---|---|---|---|
| \(f''\)-Kriterium | \(f'(x_0)=0\) und \(f''(x_0)<0\) | Hochpunkt | wenn \(f''\) leicht zu bilden und \(\neq 0\) ist |
| \(f''\)-Kriterium | \(f'(x_0)=0\) und \(f''(x_0)>0\) | Tiefpunkt | |
| VZW-Kriterium | \(f'\) wechselt bei \(x_0\) von \(+\) nach \(-\) | Hochpunkt | immer anwendbar; Pflicht, wenn \(f''(x_0)=0\) |
| VZW-Kriterium | \(f'\) wechselt bei \(x_0\) von \(-\) nach \(+\) | Tiefpunkt | |
| kein Wechsel | \(f'(x_0)=0\), \(f'\) behält das Vorzeichen | Sattelpunkt | z. B. bei \(x^{3}\), \((x+1)^{3}\) |
Eselsbrücke zum Vorzeichen: \(f''<0\) heißt rechtsgekrümmt — ein „Berg“, also Hochpunkt. \(f''>0\) heißt linksgekrümmt — eine „Wanne“, also Tiefpunkt. Wer sich die Wanne merkt, verwechselt es nie wieder.
Mit dem GTR (5.2.4)
- Funktion unter \(Y_1\) eingeben und ein Fenster wählen, in dem die interessanten Punkte sichtbar sind.
- Im Graph-Menü „maximum“ bzw. „minimum“ wählen und links und rechts der Stelle Grenzen setzen.
- Der GTR liefert Näherungswerte. Er ist Kontrolle, kein Nachweis — in der Klausur muss die Rechnung dabeistehen, wenn nichts anderes verlangt ist.
4
Krümmung, Wendepunkte, Sattelpunkte
Krümmung. \(f''(x)>0\) auf \(I\) ⇒ \(G_f\) ist auf \(I\) linksgekrümmt (Wanne).
\(f''(x)<0\) auf \(I\) ⇒ \(G_f\) ist auf \(I\) rechtsgekrümmt (Berg).
\(f''(x)<0\) auf \(I\) ⇒ \(G_f\) ist auf \(I\) rechtsgekrümmt (Berg).
Wendestelle. notwendig: \(f''(x_0)=0\)
hinreichend: \(f''\) wechselt bei \(x_0\) das Vorzeichen (gleichwertig: \(f'''(x_0)\neq 0\))
hinreichend: \(f''\) wechselt bei \(x_0\) das Vorzeichen (gleichwertig: \(f'''(x_0)\neq 0\))
- Im Wendepunkt ist der Graph am steilsten (bei Rechts-nach-Links-Wechsel im Fallen am steilsten fallend, sonst am steilsten steigend).
- Die Wendetangente hat die Steigung \(f'(x_W)\) — die erste Ableitung. Gleichung: \(y=f'(x_W)\,(x-x_W)+f(x_W)\).
- Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente: \(f'(x_0)=0\) und \(f''(x_0)=0\) mit Vorzeichenwechsel von \(f''\).
- Bei ganzrationalen Funktionen dritten Grades liegt die Wendestelle immer genau in der Mitte zwischen Hoch- und Tiefpunkt — ein schneller Kontrollrechenweg.
| Punkt | \(f'(x_0)\) | \(f''(x_0)\) | Erkennungszeichen |
|---|---|---|---|
| Hochpunkt | \(=0\) | \(<0\) | Berg |
| Tiefpunkt | \(=0\) | \(>0\) | Wanne |
| Wendepunkt | beliebig | \(=0\) mit VZW | Krümmung dreht |
| Sattelpunkt | \(=0\) | \(=0\) mit VZW | waagerechte Wendetangente |
5
Extremwertaufgaben und Antwortsätze
Jede Extremwertaufgabe — Dose, Schachtel, Gehege, Rettungsschwimmer — folgt demselben Schema:
- Zielgröße festlegen: Was soll maximal oder minimal werden?
- Formel für die Zielgröße notieren (enthält meist noch zwei Variablen).
- Nebenbedingung aus dem Text aufstellen und nach einer Variablen auflösen.
- Einsetzen: Zielfunktion mit nur einer Variablen — und Definitionsbereich aus dem Sachkontext.
- Ableiten und \(f'(x)=0\) lösen.
- Art prüfen mit \(f''\) oder Vorzeichenwechsel; Lösungen außerhalb des Definitionsbereichs verwerfen und das begründen.
- Randwerte vergleichen und Antwortsatz mit Einheit im Sachzusammenhang formulieren.
Reihenfolge beachten: Erst einsetzen, dann ableiten. Wer zuerst ableitet, hat in der Ableitung noch zwei Variablen stehen und kommt nicht weiter.
Bausteine für den Antwortsatz
- Wovon ist die Rede? („Die Schachtel …“, „Der Zaun …“)
- Welche Größe ist optimal, mit Zahl und Einheit? („… bei einer Schnittlänge von \(7{,}85\;\text{cm}\) …“)
- Wie groß ist der Extremwert? („… fasst sie mit \(8450\;\text{cm}^{3}\) das größte Volumen.“)
- Bei Monotonie- und Krümmungsaufgaben zusätzlich: weil \(f'\) bzw. \(f''\) dort das Vorzeichen wechselt.
Klausur-Check in 20 Sekunden: Steht überall der Punkt (nicht nur die Stelle)? Sind Einheiten dabei? Ist bei jedem Kandidaten begründet, warum Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt? Wurden Ränder betrachtet, wenn das Intervall abgeschlossen ist?
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Alle Seiten des Kapitels
5.0.1Ableitungsregeln sicher anwenden5.0.2Nullstellen ganzrationaler Funktionen5.0.3Graphen lesen und skizzieren5.1.1Steigen und Fallen am Graphen5.1.2Monotonie und erste Ableitung5.1.3Monotonieintervalle berechnen5.2.1Notwendige Bedingung5.2.2VZW-Kriterium5.2.3\(f''\)-Kriterium5.2.4Extrempunkte mit dem GTR5.3.1Links- und Rechtskrümmung5.3.2Wendestellen bestimmen5.3.3Sattelpunkte5.4.1Verfahren in sieben Schritten5.4.2Die perfekte Cola-Dose5.4.3Die Goldfolie5.4.4Der Rettungsschwimmer