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Graphen lesen/skizzieren

Aus einem Graphen alle wichtigen Eigenschaften ablesen, sie in korrekter Intervallschreibweise notieren und umgekehrt aus Vorgaben eine passende Skizze anfertigen.

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Was ein Graph verrät

Aus einem Graphen liest du viele Eigenschaften ab — ganz ohne Funktionsgleichung.

  • y-Achsenabschnitt:\(f(0)\) — meist exakt ablesbar, weil die \(y\)-Achse eine Gitterlinie ist.
  • Nullstellen:Schnitt- oder Berührpunkte mit der \(x\)-Achse, also \(f(x_0)=0\).
  • Vorzeichenbereiche:oberhalb der \(x\)-Achse \(f(x)>0\), unterhalb \(f(x)<0\).
  • Hoch- und Tiefpunkte:dort kehrt der Graph um — die Koordinaten sind meist geschätzt.
  • Randverhalten:die äußeren Äste zeigen, wohin \(f(x)\) für \(x\to\pm\infty\) läuft.
Fünf Informationen in einem Graphen
xy−5−4−3−2−112345−3−2−11234f(x) > 0f(x) < 0f(0) = −1,5Nullstellen bei −3, −1 und 2Hochpunkt ≈ (−2,1 | 1,0)Tiefpunkt ≈ (0,8 | −2,1)für große x nach obenfür kleine x nach unten
Der Graph für das Beispiel
xy−2−11234−3−2−11234PTH
  • Beispiel:\(f(0)=-1{,}2\); Nullstellen \(-2\), \(1\), \(3\).
  • Vorzeichen:\(f(x)>0\) auf \(]-\infty;\,-2[\) und \(]1;\,3[\), \(f(x)<0\) auf \(]-2;\,1[\) und \(]3;\,\infty[\).
  • Extrempunkte:\(T\approx(-0{,}8\mid-1{,}6)\), \(H\approx(2{,}1\mid0{,}8)\).
  • Randverhalten:für \(x\to-\infty\) gilt \(f(x)\to+\infty\), für \(x\to+\infty\) gilt \(f(x)\to-\infty\).
Merke

Ablesen: abgelesene Werte sind Näherungen — notiere sie mit \(\approx\)

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Intervalle richtig aufschreiben

Ein Intervall ist ein zusammenhängendes Stück der \(x\)-Achse zwischen zwei Grenzen.

  • Offen:\(]0;\,3{,}5[\) — die Grenzen gehören nicht dazu (leerer Kreis).
  • Abgeschlossen:\([-2;\,1]\) — die Grenzen gehören dazu (gefüllter Kreis).
  • Unbeschränkt:\(]-\infty;\,0[\) oder \(]3;\,\infty[\).
  • Andere Schreibweise:\((a;\,b)\) meint dasselbe wie \(]a;\,b[\). Hier steht immer \(]a;\,b[\), damit du es nicht mit einem Punkt \((x\mid y)\) verwechselst.
Offene, abgeschlossene und unbeschränkte Intervalle
−6−5−4−3−2−10123456]0; 3,5[oder (0; 3,5)offen — die Grenzen gehören nicht dazu−6−5−4−3−2−10123456[−2; 1]oder [−2; 1]abgeschlossen — beide Grenzen gehören dazu−6−5−4−3−2−10123456]−∞; 0[]3; ∞[Bei ∞ steht immer die offene Klammer.
  • Steigend:aus \(x_1<x_2\) folgt \(f(x_1)<f(x_2)\) — immer auf einem Intervall.
  • Umkehrstellen:sind die Grenzen der Intervalle und bleiben draußen.
  • Beispiel:„\(f\) ist auf \(]-1{,}5;\,2[\) streng monoton steigend.“
Monotonie-Intervalle an einem Graphen ablesen
xy−3−2−1123−2−11234HochpunktTiefpunktTiefpunkt]−∞; −2[]−2; 0[]0; 2[]2; ∞[■ steigt■ fälltAn den Stellen −2, 0 und 2 endet ein Intervall — deshalb offene Klammern.
Merke

Offenes Intervall: \(]a;\,b[\;=\;\{x\mid a<x<b\}\)

Markiere direkt am Graphen, wo er steigt und wo er fällt. Die Anzeige übersetzt deine Markierung laufend in Intervallschreibweise.

Intervall-Markierer

Klicke oder ziehe über die Felder des Bandes unter der x-Achse. Mit der Tastatur geht es genauso: Pfeil links und rechts bewegen den Marker, Pfeil oben und unten wechseln die Farbe, die Eingabetaste setzt Anfang und Ende eines Bereichs.

xy−3−2−1123−3−2−11234−4−3−2−101234Markierband — ein Feld entspricht 0,25 Einheiten■ steigend■ fallendSchraffur = weicht von der Lösung ab
steigend auf
—
fallend auf
—

Markiere zuerst alle Bereiche, in denen der Graph steigt. Wechsle dann den Modus und markiere die fallenden Bereiche.

Halte fest: Zwischen einem steigenden und einem fallenden Bereich liegt eine Umkehrstelle, die zu keinem der beiden Intervalle gehört.

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Vom Text zur Skizze

Aus einer Liste von Eigenschaften entsteht eine Skizze: erst sichere Punkte, dann Umkehrstellen, dann glatt verbinden.

  • Vorgabe:\(f(0)=-3\); Nullstellen bei \(-4\) und \(2\); \(f\) steigt auf \(]-1;\,\infty[\); genau ein Tiefpunkt.
  • Punkte:\((-4\mid0)\), \((2\mid0)\) und \((0\mid-3)\) eintragen.
  • Tiefpunkt:bei \(x=-1\), tiefer als \(-3\) — also fällt \(f\) auf \(]-\infty;\,-1[\).
  • Viele Lösungen:jede glatte Kurve, die alle Vorgaben erfüllt, ist richtig.
Zwei richtige Skizzen zu derselben Vorgabe
xy−5−4−3−2−1123−4−3−2−11234Skizze A — eine Parabelxy−5−4−3−2−1123−4−3−2−11234Skizze B — eine freie KurveBeide Skizzen erfüllen alle vier Vorgaben — die Skizze ist also nicht eindeutig.
  • Rechnerfenster:\(f(x)=x^3-12x\) hat Extremwerte bei \(y=\pm16\) — außerhalb des Standardfensters \(-10\) bis \(10\).
  • Fenster wählen:erst den \(x\)-Bereich mit allen Nullstellen, dann den \(y\)-Bereich vergrößern, bis alle Umkehrstellen sichtbar sind.
Dieselbe Funktion in zwei Rechnerfenstern
−8−448−8−448StandardfensterXmin −10 ⋅ Xmax 10 ⋅ Ymin −10 ⋅ Ymax 10−4−224−16−8816H(−2 | 16)T(2 | −16)angepasstes FensterXmin −5 ⋅ Xmax 5 ⋅ Ymin −20 ⋅ Ymax 20
Merke

Skizze: richtig ist jede glatte Kurve, die alle Vorgaben erfüllt

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Allgemeine Hinweise

Ablesen ist Schätzen

Nur Werte auf Gitterlinien sind exakt. Alle anderen notierst du mit \(\approx\) und einer Nachkommastelle.

Nie „bei x = 2 fallend“

Steigen und Fallen vergleichen zwei Stellen. Sie gehören daher immer zu einem Intervall.

Klammer an Unendlich

\(\infty\) ist keine Zahl, die man erreicht. Dort steht deshalb immer die offene Klammer.

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