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Nullstellen ganzrat. Fkt.

Jede Extrem- und Wendestelle endet in einer Gleichung der Form f′(x) = 0. Wer Nullstellen sicher findet, hat die halbe Funktionsuntersuchung schon erledigt.

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Warum Nullstellen?

Eine Nullstelle ist eine Stelle \(x_0\) mit \(f(x_0)=0\). Fast jede Funktionsuntersuchung endet mit so einer Gleichung.

  • Nullstelle von \(f\):\(f(x_0)=0\) — der Graph trifft dort die \(x\)-Achse.
  • Extremstelle:Bedingung \(f'(x)=0\) — eine Nullstelle der ersten Ableitung.
  • Wendestelle:Bedingung \(f''(x)=0\) — eine Nullstelle der zweiten Ableitung.
  • Grad \(n\):eine ganzrationale Funktion vom Grad \(n\) hat höchstens \(n\) Nullstellen.
Was in Wahrheit gesucht wird, wenn eine Extremstelle gesucht ist
x-3-2-1123x-3-2-1123HochpunktTiefpunktx = −2x = 2ff′f(x) = ¼x³ − 3xf′(x) = ¾x² − 3Extremstelle gesucht → ¾x² − 3 = 0 lösen
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Nullprodukt und Ausklammern

Verwandle die Gleichung zuerst in ein Produkt. Dann setzt du jeden Faktor einzeln null.

  • Satz vom Nullprodukt:ein Produkt ist null, wenn mindestens ein Faktor null ist.
  • Ausklammern:die höchste \(x\)-Potenz herausziehen, die in jedem Summanden steckt.
  • Grenze:steht ein Summand ohne \(x\) da, klappt Ausklammern nicht.
  • Beispiel:\(x^3-4x=x\,(x^2-4)=0\;\Rightarrow\;x\in\{-2;\,0;\,2\}\).
  • Beispiel:\(x^3-3x^2=x^2\,(x-3)=0\;\Rightarrow\;x=0\) (doppelt) oder \(x=3\).
Drei Wege — ein Prinzip
Wie sieht die Gleichung aus?Jeder Summand enthält xx³ − 4x = 0↓x·(x² − 4) = 0ausklammernhöchste gemeinsamex-Potenz herausziehenNur x², x und eine Zahlx² − 6x + 5 = 0↓x₁₂ = 3 ± √(9 − 5)pq-FormelDiskriminante entscheidet:zwei, eine oder keine LösungNur x⁴, x² und eine Zahlx⁴ − 5x² + 4 = 0↓u² − 5u + 4 = 0Substitution u = x²erst u bestimmen, dannx = ±√u zurückrechnenSatz vom Nullprodukt: jeden Faktor einzeln null setzen
Merke

Satz vom Nullprodukt: \(a\cdot b=0\;\Leftrightarrow\;a=0\) oder \(b=0\)

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pq-Formel und Substitution

Bleibt nach dem Ausklammern ein quadratischer Faktor übrig, löst du ihn mit der pq-Formel.

  • pq-Formel:für \(x^2+px+q=0\) mit der Diskriminante \(D=\left(\tfrac p2\right)^2-q\).
  • Diskriminante:\(D>0\): zwei Lösungen; \(D=0\): eine doppelte; \(D<0\): keine reelle Lösung.
  • Vieta:zwei Zahlen mit Summe \(-p\) und Produkt \(q\) suchen — bei \(x^2+2x-8\) sind das \(2\) und \(-4\).
  • Binomische Formel:\(x^2-9=(x+3)(x-3)\) liefert \(\pm3\) ohne Formel.
  • Biquadratisch:nur \(x^4\), \(x^2\) und eine Zahl — substituiere \(u=x^2\).
  • Rücksubstitution:aus \(u>0\) werden zwei \(x\)-Werte, aus \(u=0\) einer, aus \(u<0\) keiner.
  • Beispiel:\(x^4-5x^2+4=0\;\Rightarrow\;u^2-5u+4=0\;\Rightarrow\;u\in\{1;4\}\;\Rightarrow\;x\in\{-2;\,-1;\,1;\,2\}\).
Merke

pq-Formel: \(x_{1,2}=-\tfrac p2\pm\sqrt{\left(\tfrac p2\right)^2-q}\)

Wähle, was du ausklammerst, und setze danach jeden Faktor null. Rechts entstehen nacheinander die Nullstellen und der Graph.

Faktorisier-Pfad

Fünf vorbereitete Terme. Wähle zuerst, was sich ausklammern lässt, und setze danach jeden Faktor einzeln null. Rechts wächst das Koordinatensystem mit: Erst kommen die Nullstellen, am Ende der Graph.

 
Schritt 1 von 2

 

Wähle zuerst, was du ausklammerst.

Koordinatensystem: Jede gefundene Nullstelle erscheint als gelber Punkt auf der x-Achse; sind alle Faktoren bearbeitet, wird der zugehörige Graph blau ergänzt.
Nullstellen
0 / 0
Grad von f
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Bedienung mit der Tastatur: mit Tab zu den Schaltflächen springen, mit Enter auswählen. Jede Meldung wird vorgelesen.

Halte fest: Steckt ein Quadrat wie \(x^2\) im Produkt, berührt der Graph die \(x\)-Achse nur.

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Vielfachheit einer Nullstelle

Die Vielfachheit zählt, wie oft der Faktor \((x-x_0)\) in der zerlegten Form vorkommt.

  • Einfach:in \(x\,(x-3)\) kommt jeder Faktor einmal vor — der Graph schneidet die Achse.
  • Doppelt:in \((x-1{,}5)^2\) kommt der Faktor zweimal vor — der Graph berührt die Achse.
  • Vorzeichen:bei ungerader Vielfachheit wechselt es, bei gerader bleibt es gleich.
  • Ausblick:bei \(f'\) entscheidet genau das später zwischen Extremstelle und Sattelpunkt.
  • GTR:gut zur Kontrolle, zeigt aber keine Vielfachheit und rundet: \(\sqrt3\approx1{,}732\).
Einfach oder doppelt — schneiden oder berühren
einfache Nullstelle → Graph schneidetg(x) = x·(x − 3)x123x = 0 einfachx = 3 einfach+−+Vorzeichenbanddoppelte Nullstelle → Graph berührth(x) = (x − 1,5)²x123x = 1,5 doppelt++Vorzeichenband
Merke

Vielfachheit: ungerade \(\Rightarrow\) Graph schneidet die \(x\)-Achse, gerade \(\Rightarrow\) Graph berührt sie

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Allgemeine Hinweise

Nie durch x teilen

Teilst du durch \(x\), geht die Lösung \(x=0\) verloren. Klammere \(x\) stattdessen aus.

Rücksubstitution

Gefragt sind \(x\)-Werte, nicht \(u\)-Werte. Aus \(u=4\) werden \(x=-2\) und \(x=2\).

GTR als Kontrolle

Zeichne den Graphen und zähle die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse. Passt die Anzahl zu deiner Lösungsmenge, stimmt es meist.

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