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Monotonie und Ableitung

Am Graphen hast du Steigen und Fallen mit dem Auge erkannt. Ab jetzt übernimmt das Vorzeichen von f′ diese Arbeit — zuverlässig und ohne Schätzen.

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Die Ableitung zeigt die Richtung

\(f'(x_0)\) ist die Steigung der Tangente an der Stelle \(x_0\). Ihr Vorzeichen verrät dir, ob es bergauf oder bergab geht.

  • \(f'(x_0)>0\):die Tangente steigt — der Graph geht bergauf.
  • \(f'(x_0)<0\):die Tangente fällt — der Graph geht bergab.
  • \(f'(x_0)=0\):die Tangente ist waagerecht.
  • Betrag \(|f'(x_0)|\):sagt nur, wie steil es ist.
Drei Stellen, drei Tangenten
xy−112345−2−11234bergauff′(0) = 2 > 0bergabf′(4) = −2 < 0f′(2) = 0 — waagerechtGraph von fTangente steigtTangente fälltwaagerecht
  • Beispiel:an der Parabel gilt \(f'(0)=2\), \(f'(2)=0\) und \(f'(4)=-2\): bergauf, waagerecht, bergab.
  • Nur das Vorzeichen:\(f'(x)=0{,}01\) und \(f'(x)=100\) bedeuten beide „bergauf“.
Der Betrag sagt wie steil, das Vorzeichen sagt wohin
f′(x) = 3steil bergauff′(x) = 0,5flach bergauff′(x) = −0,5flach bergabf′(x) = −3steil bergabf′(x) > 0 — f wächstf′(x) < 0 — f fällt
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Das Monotoniekriterium

Zeigt die Tangente an jeder Stelle eines Intervalls nach oben, kann der Graph dort nicht umkehren.

  • \(f'(x)>0\) auf \(I\):\(f\) ist auf \(I\) streng monoton wachsend.
  • \(f'(x)<0\) auf \(I\):\(f\) ist auf \(I\) streng monoton fallend.
  • Graph von \(f'\):über der \(x\)-Achse steigt \(f\), unter der \(x\)-Achse fällt \(f\).
  • Nullstelle von \(f'\):dort hat \(f\) eine waagerechte Tangente — sie ist keine Nullstelle von \(f\).
Graph von f und Graph von f′ untereinander
xy−2−11234−3−2−1123xy−2−11234−2−112345f steigtf fälltf steigtGraph von ff′ > 0f′ < 0f′ > 0Graph von f′Nullstelle von f′Nullstelle von f′
  • Beispiel:\(f(x)=\tfrac13x^3-2x^2+3x\), \(f'(x)=(x-1)(x-3)\).
  • Vorzeichen:\(f'(0)=3>0\), \(f'(2)=-1<0\), \(f'(4)=3>0\).
  • Ergebnis:\(f\) wächst auf \(]-\infty;\,1[\) und \(]3;\,\infty[\) und fällt auf \(]1;\,3[\).
Merke

Monotoniekriterium: \(f'(x)>0\) auf \(I\;\Rightarrow\;f\) streng monoton wachsend; \(f'(x)<0\) auf \(I\;\Rightarrow\;f\) streng monoton fallend

Ein Punkt läuft über den Graphen von \(f\), die Tangente dreht sich mit. Unten zeichnet der passende Punkt den Graphen von \(f'\).

Tangenten-Wanderung

Die Tangente ist grün, solange ihre Steigung positiv ist, und rot, solange sie negativ ist. Unten färbt sich zur selben Zeit die Fläche zwischen der \(f′\)-Kurve und der x-Achse in derselben Farbe ein. Bedienung mit der Maus über den Regler oder mit der Tastatur: Pfeil links und rechts bewegen den Punkt, Bild-auf und Bild-ab in größeren Schritten, Pos1 und Ende springen an den Rand.

Graph von fGraph von f′
Stelle x
—
f′(x)
—
Bedeutung
—

Ziehe den Regler oder benutze die Pfeiltasten. Achte darauf, wann die Tangente oben die Farbe wechselt — unten passiert im selben Moment dasselbe.

Halte fest: Die Farbe wechselt oben und unten gleichzeitig — genau dann, wenn der Graph von \(f'\) die \(x\)-Achse kreuzt.

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Nur in eine Richtung

Aus strengem Wachstum folgt nicht, dass \(f'\) überall positiv ist.

  • Gegenbeispiel:\(f(x)=x^3\) wächst streng monoton, aber \(f'(0)=0\).
  • Grund:\(f'(x)=3x^2\) berührt die \(x\)-Achse bei \(0\) nur und bleibt sonst positiv.
  • Sattelpunkt:waagerechte Tangente ohne Richtungswechsel.
  • Folgerung:\(f'(x_0)=0\) ist für eine Extremstelle notwendig, aber nicht hinreichend.
  • Beispiel:\(f(x)=\tfrac14x^4-x^3+5\), \(f'(x)=x^2(x-3)\): \(f\) fällt auf \(]-\infty;\,3[\) mit Sattelpunkt bei \(0\) und wächst auf \(]3;\,\infty[\).
Das Gegenbeispiel \(f(x)=x^{3}\)
xy−2−112−8−448xy−2−1124812f steigt überallGraph von f mit f(x) = x³f′ > 0f′ > 0Graph von f′ mit f′(x) = 3x²f′(0) = 0 — kein Vorzeichenwechsel
Merke

Rückrichtung: \(f\) streng monoton wachsend auf \(I\;\Rightarrow\;f'(x)\ge0\) auf \(I\)

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Allgemeine Hinweise

Waagerecht ist kein Extremum

Aus \(f'(x_0)=0\) folgt noch kein Hoch- oder Tiefpunkt. Bei \(x^3\) liegt an der Stelle 0 ein Sattelpunkt.

Graphen auseinanderhalten

Eine Nullstelle von \(f'\) ist keine Nullstelle von \(f\). Lies immer im richtigen Koordinatensystem ab.

Erst faktorisieren

Das Vorzeichen eines Produkts liest du schneller ab als das einer Summe. Zerlege \(f'\) deshalb zuerst in Faktoren.

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