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Bedingung: VZW-Kriterium

Die Kandidatenliste steht — jetzt fällt die Entscheidung. Ein Blick auf das Vorzeichen von f′ links und rechts der Stelle verrät, ob dort ein Hochpunkt, ein Tiefpunkt oder nur ein Sattelpunkt liegt.

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Das Vorzeichen von f′ entscheidet

Das VZW-Kriterium prüft jeden Kandidaten. Es vergleicht das Vorzeichen von \(f'\) kurz vor und kurz nach der Stelle.

  • Hinreichende Bedingung:entscheidet, was an einer Stelle mit \(f'(x_0)=0\) wirklich liegt.
  • VZW:kurz für Vorzeichenwechsel.
  • \(f'>0\):der Graph steigt.
  • \(f'<0\):der Graph fällt.
Drei Vorzeichenmuster — drei verschiedene Punkte
+−von + nach −Hochpunkt−+von − nach +Tiefpunkt++kein WechselSattelpunktVorzeichen von f′ links und rechts der Stelle mit f′(x) = 0
  • \(+\) nach \(-\):erst steigen, dann fallen: Hochpunkt.
  • \(-\) nach \(+\):erst fallen, dann steigen: Tiefpunkt.
  • Kein Wechsel:der Graph läuft in dieselbe Richtung weiter: Sattelpunkt, kein Extrempunkt.
Merke

VZW-Kriterium: \(f'(x_0)=0\) und VZW von \(+\) nach \(-\) \(\Rightarrow\) Hochpunkt; von \(-\) nach \(+\) \(\Rightarrow\) Tiefpunkt

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Mit der Vorzeichentabelle entscheiden

Die Vorzeichen bestimmst du mit Teststellen, die du in \(f'\) einsetzt.

  • 1. Kandidaten:\(f'(x)=0\) lösen.
  • 2. Bereiche:die x-Achse an allen Kandidaten zerlegen.
  • 3. Teststellen:aus jedem Bereich eine Zahl in \(f'\) einsetzen und nur das Vorzeichen notieren.
  • 4. Entscheiden:an jedem Kandidaten die beiden Nachbarvorzeichen vergleichen.
  • 5. Koordinaten:die y-Werte mit \(f\) berechnen.
  • Beispiel:\(f(x)=x^{3}+3x^{2}-4\): \(f'(-3)=9>0\), \(f'(-1)=-3<0\), \(f'(1)=9>0\) \(\Rightarrow\) \(HP(-2\,|\,0)\), \(TP(0\,|\,-4)\).
Vorzeichentabelle von f′(x) = 3x² + 6x
xf′(x)−3−2−11−3369f′(x) = 3x² + 6xx < −2f′(−3) = 9+f steigt−2 < x < 0f′(−1) = −3−f fälltx > 0f′(1) = 9+f steigt+ → − ⇒ Hochpunkt− → + ⇒ Tiefpunkt
Das Ergebnis am Graphen von f
xf(x)−3−2−11−4−22HP(−2|0)+ → −TP(0|−4)− → +f steigtf fälltf steigtf(x) = x³ + 3x² − 4
Merke

Extrempunkt: \(P\bigl(x_0\,|\,f(x_0)\bigr)\) — der y-Wert kommt immer aus \(f\)

Drei Kurven, jede mit waagerechter Tangente. Prüfe das Vorzeichen von \(f'\) links und rechts und entscheide, was dort liegt.

Vorzeichen-Detektiv

Wähle eine Kurve und eine Kandidatenstelle. Links und rechts davon liegt je eine Teststelle. Lies dort am Verlauf des Graphen das Vorzeichen von \(f′\) ab, entscheide dich für Hochpunkt, Tiefpunkt oder Sattelpunkt und drücke auf „Auswerten“: Der Graph wird dann abschnittsweise grün und rot eingefärbt, und du siehst sofort, ob deine Einschätzung stimmt. Bedienung auch über die Tastatur — Pfeil hoch und runter wechseln die Kurve, Pfeil links und rechts die Kandidatenstelle, die Eingabetaste wertet aus.

1. Kurve wählen
2. Kandidat wählen
3. f′ links davon
4. f′ rechts davon
5. Dort liegt ein
Untersuchte Stelle
—
Deine Wahl
—
Auswertung
—

—

Halte fest: Kurve A zeigt einen Hoch- und einen Tiefpunkt. Bei B und C wechselt \(f'\) das Vorzeichen nicht — dort liegt jeweils ein Sattelpunkt.

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Allgemeine Hinweise

Keine Nullstelle überspringen

Zwischen Teststelle und Kandidat darf keine weitere Nullstelle von \(f'\) liegen. Sonst prüfst du den falschen Bereich.

Bequeme Teststellen

Nimm einfache Zahlen wie \(-1\), \(0\) oder \(1\). Es zählt nur das Vorzeichen, nicht der Wert.

y-Wert aus f

Die y-Koordinate liefert \(f\), nicht \(f'\). In \(f'\) eingesetzt kommt an der Stelle immer null heraus.

Videos

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