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Bedingung: f″-Kriterium

Statt links und rechts von der Kandidatenstelle nachzusehen, genügt ein einziger Wert: das Vorzeichen von f″ genau an dieser Stelle entscheidet über Hoch- und Tiefpunkt.

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Wanne oder Berg

Das f″-Kriterium entscheidet mit einem einzigen Wert: dem Vorzeichen von \(f''\) an der Kandidatenstelle.

  • Zweite Ableitung:\(f''\) ist die Ableitung von \(f'\). Sie beschreibt die Krümmung.
  • Voraussetzung:an der Stelle \(x_E\) gilt bereits \(f'(x_E)=0\).
  • \(f''(x_E)>0\):linksgekrümmt wie eine Wanne: Tiefpunkt.
  • \(f''(x_E)<0\):rechtsgekrümmt wie ein Berg: Hochpunkt.
Wanne oder Berg — das Vorzeichen von f″ entscheidet
Das Vorzeichen von f″ an der Kandidatenstelle entscheidet über die Punktartf″(xₑ) > 0Tiefpunktnach oben geöffnet — wie eine Wannef″(xₑ) < 0Hochpunktnach unten geöffnet — wie ein Berg
Merke

f″-Kriterium: \(f'(x_E)=0\) und \(f''(x_E)>0\) \(\Rightarrow\) Tiefpunkt; \(f'(x_E)=0\) und \(f''(x_E)<0\) \(\Rightarrow\) Hochpunkt

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Der Grenzfall

Ist \(f''(x_E)=0\), liefert das Kriterium keine Aussage. Dann ist noch alles offen.

Der Grenzfall f″(xₑ) = 0 entscheidet nichts
Zweimal f′(0) = 0 und f″(0) = 0 — und zwei ganz verschiedene Punkteg(x) = x⁴Tiefpunktf″(0) = 0 — keine Aussageh(x) = x³Sattelpunktf″(0) = 0 — keine Aussage
  • \(g(x)=x^{4}\):\(g'(0)=g''(0)=0\), trotzdem liegt ein Tiefpunkt vor.
  • \(h(x)=x^{3}\):\(h'(0)=h''(0)=0\), hier liegt ein Sattelpunkt.
  • Ausweg:mit dem VZW-Kriterium das Vorzeichen von \(f'\) links und rechts prüfen.
  • Vorteil:sonst genügt ein eingesetzter Wert statt zweier Teststellen.
Merke

Keine Aussage: \(f''(x_E)=0\) \(\Rightarrow\) VZW-Kriterium benutzen

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Das Verfahren durchgerechnet

Extrempunkte bestimmst du damit in drei Schritten.

  • 1. Notwendig:\(f'(x)=0\) lösen → mögliche Extremstellen.
  • 2. Hinreichend:jede Stelle in \(f''\) einsetzen → Hoch- oder Tiefpunkt.
  • 3. Koordinaten:jede bestätigte Stelle in \(f\) einsetzen.
  • Beispiel:\(f(x)=x^{3}+3x^{2}-4\), \(f''(x)=6x+6\): \(f''(0)=6>0\Rightarrow TP(0\,|\,-4)\); \(f''(-2)=-6<0\Rightarrow HP(-2\,|\,0)\).
Das Ergebnis und die zugehörige zweite Ableitung
f(x) = x³ + 3x² − 4 mit den beiden gefundenen Punktenxf(x)−3−2−11−4−22HP(−2 | 0)TP(0 | −4)Graph von fDie zweite Ableitung f″(x) = 6x + 6 an denselben Stellenxf″(x)−3−2−11−66f″(−2) = −6f″(0) = 6f″ < 0 → Hochpunktf″ > 0 → Tiefpunkt

Die drei Diagramme zeigen \(f\), \(f'\) und \(f''\) übereinander. Untersuche beide Kandidatenstellen in allen drei Bildern.

Lotlinie durch f, f′ und f″

Die drei Diagramme gehören zur selben Funktion und benutzen dieselbe x-Achse. Eine senkrechte Lotlinie läuft durch alle drei. Wird im mittleren Bild \(f′(x)=0\), ist eine Kandidatenstelle erreicht; dann liest das Applet unten das Vorzeichen von \(f″\) ab und nennt die Punktart. Bedienung mit dem Regler oder mit der Tastatur: Pfeil links und rechts bewegen die Lotlinie, Bild-auf und Bild-ab in größeren Schritten, Pos1 und Ende springen an den Rand, Enter springt zur Kandidatenstelle.

xf(x)−0,50,511,5−0,10,10,20,3f(x) = ¼x⁴ − ⅓x³xf′(x)−0,50,511,5−11f′(x) = x³ − x²xf″(x)−0,50,511,51234f″(x) = 3x² − 2x
Stelle x
—
f′(x)
—
f″(x)
—
Ergebnis des Kriteriums
—

Schiebe die Lotlinie an die beiden markierten Kandidatenstellen und vergleiche, was das untere Diagramm dort anzeigt.

Halte fest: Bei \(x=1\) ist \(f''>0\), also Tiefpunkt. Bei \(x=0\) ist \(f''(0)=0\) — das Kriterium schweigt, \(f'\) wechselt dort nicht das Vorzeichen: Sattelpunkt.

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Allgemeine Hinweise

Vorzeichen nicht vertauschen

Positives \(f''\) gehört zum Tiefpunkt, negatives zum Hochpunkt. Denk an Wanne und Berg.

Null heißt nicht „kein Extrempunkt“

Bei \(f''(x_E)=0\) ist noch alles offen. Prüfe dann mit dem VZW-Kriterium.

Richtig einsetzen

Die Punktart entscheidest du mit \(f''\). Den y-Wert berechnest du mit \(f\).

Videos

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