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Monotonieintervalle berechnen

Die Nullstellen von f′ zerschneiden die x-Achse in Teilintervalle. In jedem Stück hat f′ ein festes Vorzeichen — daraus wird ein Verfahren in vier Schritten.

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Das Verfahren in vier Schritten

Das Vorzeichen von \(f'\) kann sich nur an seinen Nullstellen ändern. Deshalb genügt eine Probestelle pro Teilintervall.

  • Schritt 1:\(f'\) bilden und möglichst faktorisieren, z. B. \(x^3-3x^2=x^2(x-3)\).
  • Schritt 2:\(f'(x)=0\) lösen — das liefert die Schnittstellen.
  • Schritt 3:in jedem Teilintervall das Vorzeichen von \(f'\) bestimmen.
  • Schritt 4:je Teilintervall einen Antwortsatz mit offenen Klammern schreiben.
  • Anzahl:\(n\) Schnittstellen zerlegen die \(x\)-Achse in \(n+1\) Teilintervalle.
Die Zahlengerade wird an den Nullstellen von \(f'\) zerschnitten
xx₁x₂Teilintervall 1Teilintervall 2Teilintervall 3Probestellef′ < 0f fälltProbestellef′ > 0f wächstProbestellef′ < 0f fälltDie Nullstellen von f′ zerschneiden die Zahlengerade — in jedem Stück behält f′ sein Vorzeichen.
Merke

Probestelle: zwischen zwei benachbarten Nullstellen von \(f'\) bleibt das Vorzeichen von \(f'\) gleich

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Die Vorzeichentabelle

In der Vorzeichentabelle stehen oben die Faktoren von \(f'\), darunter ihr Produkt und ganz unten die Monotonie von \(f\).

  • Faktorweise:Vorzeichen jedes Faktors bestimmen, dann nur die Vorzeichen multiplizieren.
  • Beispiel:\(f(x)=\tfrac14x^4-x^3+5\), \(f'(x)=x^2(x-3)\), Schnittstellen \(0\) (doppelt) und \(3\).
  • Probestellen:\(-1\), \(1\) und \(4\).
Vorzeichentabelle zu \(f'(x)=x^2\,(x-3)\)
Zeilen: die Faktoren von \(f'\), ihr Produkt und die Monotonie von \(f\). Spalten: die drei Teilintervalle.
Faktor \(]-\infty;\,0[\)Probe \(x=-1\) \(]0;\,3[\)Probe \(x=1\) \(]3;\,\infty[\)Probe \(x=4\)
\(x^2\)+++
\(x-3\)−−+
\(f'(x)\)−−+
\(f\)streng monoton fallendstreng monoton fallendstreng monoton wachsend

Von oben nach unten ausgefüllt: erst jeder Faktor einzeln, dann das Produkt der Vorzeichen, dann die Antwort. Wer so vorgeht, kann das Vorzeichen kaum noch falsch bekommen.

  • Ergebnis:\(f\) fällt auf \(]-\infty;\,0[\) und \(]0;\,3[\) und wächst auf \(]3;\,\infty[\).
  • Bei \(x=0\):waagerechte Tangente, aber kein Monotoniewechsel.
Beispiel 1: \(f\) oben, \(f'\) unten — bei \(x=0\) berührt \(f'\) die Achse
xy-11234-22468x = 0: f′(0) = 0 — und f fällt trotzdem weiterx = 3: Tiefpunkt — Monotonie kipptfGraph von fxy-11234-551015f′Graph von f′doppelte Nullstelle x = 0:f′ berührt die Achse nur — kein Vorzeichenwechseleinfache Nullstelle x = 3:f′ schneidet — das Vorzeichen springt von − auf +
  • Einfache Nullstelle:\(f'\) wechselt das Vorzeichen — die Monotonie kippt.
  • Doppelte Nullstelle:kein Vorzeichenwechsel — die Monotonie bleibt.
  • Zerschneiden:in beiden Fällen, und beide Teilintervalle kommen in den Antwortsatz.
Links eine einfache, rechts eine doppelte Nullstelle von \(f'\)
x-2-112x-2-112einfache Nullstelle — f′ schneidetdoppelte Nullstelle — f′ berührtVorzeichenwechsel − → + · Monotonie kipptkein Vorzeichenwechsel · Monotonie bleibt
Merke

Doppelte Nullstelle von \(f'\): kein Vorzeichenwechsel, also kein Monotoniewechsel

Wähle eine Funktion und arbeite die vier Schritte ab: \(f'\) aufdecken, Schnittstellen anklicken, Tabelle füllen, Antwortsatz lesen.

Vorzeichentabelle live

Wähle eine Funktion und arbeite die vier Schritte der Reihe nach ab. Jeder Schritt schaltet den nächsten frei.

  1. f′ bilden
  2. f′(x) = 0 lösen
  3. Vorzeichen prüfen
  4. Antwortsatz

Schritt 1 — die Ableitung bilden

Gegeben ist . Bilde f′ zuerst selbst auf dem Papier und decke dann auf.

gewählte Funktion
Funktion 1
Nullstellen von f′
noch offen
Teilintervalle
—
Schritt
1 von 4

Wähle eine Funktion und beginne mit Schritt 1.

Halte fest: Der Probestellen-Regler ändert das Vorzeichen innerhalb eines Teilintervalls nie.

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Zwei Beispiele

Beide Funktionen sind so gewählt, dass sich \(f'\) faktorisieren lässt.

  • Beispiel:\(f(x)=\tfrac14x^4-2x^2\), \(f'(x)=x(x+2)(x-2)\), Schnittstellen \(-2\), \(0\), \(2\).
  • Vorzeichen:\(f'(-3)=-15\), \(f'(-1)=3\), \(f'(1)=-3\), \(f'(3)=15\).
  • Ergebnis:\(f\) fällt auf \(]-\infty;\,-2[\) und \(]0;\,2[\) und wächst auf \(]-2;\,0[\) und \(]2;\,\infty[\).
Beispiel 2: vier Teilintervalle, dreimal Vorzeichenwechsel
xy-3-2-1123-4-22T₁(−2 | −4)T₂(2 | −4)H(0 | 0)f]−∞; −2[fällt]−2; 0[wächst]0; 2[fällt]2; ∞[wächst
  • Beispiel:\(f(x)=\tfrac13x^3-2x^2+3x\), \(f'(x)=(x-1)(x-3)\).
  • Vorzeichen:\(f'(0)=3\), \(f'(2)=-1\), \(f'(4)=3\).
  • Ergebnis:\(f\) wächst auf \(]-\infty;\,1[\), fällt auf \(]1;\,3[\) und wächst auf \(]3;\,\infty[\).
Beispiel 3: drei Teilintervalle mit Hoch- und Tiefpunkt
xy1234-2-1123H(1 | 1,33)T(3 | 0)f]−∞; 1[wächst]1; 3[fällt]3; ∞[wächst
Merke

Antwortsatz: „Im Intervall \(]a;\,b[\) ist \(f\) streng monoton wachsend (bzw. fallend).“

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Allgemeine Hinweise

Offene Klammern

An den Schnittstellen gilt \(f'(x)=0\). Sie gehören zu keinem Intervall, die Klammern bleiben offen.

Doppelte Nullstelle

Auch an einer doppelten Nullstelle von \(f'\) wird zerschnitten. Das Vorzeichen bleibt dort aber gleich.

Anzahl prüfen

Bei \(n\) Nullstellen von \(f'\) brauchst du \(n+1\) Antwortsätze. Fehlt einer, fehlt eine Nullstelle.

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