34 Karten mit allem, was in Kapitel 5 auswendig sitzen muss: Kriterien, Fachbegriffe, Vorzeichenregeln und die Schritte der Verfahren. Klick oder Enter dreht eine Karte um. Mit den Filtern oben blendest du einzelne Themenblöcke aus — so kannst du gezielt das üben, was der Selbsttest als Lücke gemeldet hat.
Alle 5.0 Grundlagen 5.1 Monotonie 5.2 Extremstellen 5.3 Krümmung 5.4 Extremwert 34 Karten
Potenzregel Formel? \(f(x)=x^{n}\Rightarrow f'(x)=n\,x^{n-1}\) Exponent nach vorn, dann um 1 verringern.Faktor- und Summenregel Formel? \((c\cdot g)'=c\cdot g'\) Konstante Faktoren bleiben stehen, Summanden werden einzeln abgeleitet.Ableitung einer Konstanten Wert? \(f(x)=c\Rightarrow f'(x)=0\) Eine waagerechte Gerade hat überall die Steigung null.Satz vom Nullprodukt Wozu? Ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens ein Faktor null ist. Deshalb wird bei \(f'(x)=0\) immer ausgeklammert — und nie durch \(x\) geteilt. Höchstzahl der Nullstellen Regel? Eine ganzrationale Funktion vom Grad \(n\) hat höchstens \(n\) Nullstellen . Dasselbe gilt für \(f'\) mit Grad \(n-1\) — daher höchstens \(n-1\) Extremstellen. \(G_f\) Was bedeutet die Schreibweise? Der Graph der Funktion \(f\). Aussagen über Steigen, Krümmung und Punkte betreffen \(G_f\), Aussagen über Werte die Funktion \(f\). Streng monoton steigend Definition am Graphen? Zu jedem größeren \(x\) gehört ein größerer Funktionswert: aus \(x_1<x_2\) folgt \(f(x_1)<f(x_2)\). Der Graph steigt ohne waagerechtes Stück an. Monotoniekriterium Formel? \(f'(x)>0\) auf \(I\Rightarrow f\) streng monoton steigend Gilt immer für ein ganzes Intervall, nie für eine einzelne Stelle.Monotonieintervalle berechnen Vier Schritte? 1. \(f'\) bilden und \(f'(x)=0\) lösen. 2. Zahlengerade in Teilintervalle zerlegen. 3. Probestelle je Intervall in \(f'\) einsetzen. 4. Antwortsatz mit Intervall und Begründung. Klammern bei Monotonieintervallen Eckig oder rund? Zur Extremstelle hin eckig (sie gehört dazu): \([1;\infty[\). Bei \(\pm\infty\) immer offen , denn \(\infty\) ist keine Zahl. Probestelle Wie wählen? Eine beliebige Zahl aus dem Inneren eines Teilintervalls, zwischen zwei benachbarten Nullstellen von \(f'\). Nie die Kandidatenstelle selbst einsetzen. Gegenbeispiel \(x^{3}\) Was zeigt es? \(f(x)=x^{3}\) ist auf ganz \(\mathbb{R}\) streng monoton steigend, obwohl \(f'(0)=0\) gilt. Eine Nullstelle von \(f'\) bricht die Monotonie also nicht zwangsläufig. Notwendige Bedingung Formel und Bedeutung? Extremstelle \(x_0\Rightarrow f'(x_0)=0\) Liefert nur eine Kandidatenliste . Die Umkehrung gilt nicht.Notwendig vs. hinreichend Unterschied in einem Satz? Notwendig heißt: muss erfüllt sein, sonst geht es nicht. Hinreichend heißt: wenn erfüllt, dann sicher — reicht als Nachweis aus.\(f''\)-Kriterium Formel? \(f'(x_0)=0\) und \(f''(x_0)<0\Rightarrow\) Hochpunkt Merkbild: \(<0\) ist der Berg, \(>0\) die Wanne.VZW-Kriterium Regel? \(f'\) wechselt bei \(x_0\) von \(+\) nach \(-\) ⇒ Hochpunkt ; von \(-\) nach \(+\) ⇒ Tiefpunkt ; kein Wechsel ⇒ Sattelpunkt . Wenn \(f''(x_0)=0\) Was tun? Das \(f''\)-Kriterium ist nicht anwendbar — es folgt daraus nichts. Stattdessen den Vorzeichenwechsel von \(f'\) untersuchen; der entscheidet immer. Sattelpunkt Definition? Eine Stelle mit \(f'(x_0)=0\), an der \(f'\) keinen Vorzeichenwechsel hat. Gleichwertig: ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente. Beispiel: \(x^{3}\) bei \(x=0\). Extrempunkt vs. Extremstelle Unterschied? Die Stelle ist der \(x\)-Wert, der Punkt ist das Paar \((x_0\mid f(x_0))\). Im Antwortsatz gehören beide Koordinaten hin. Extrempunkte mit dem GTR Vorgehen? Funktion unter \(Y_1\), passendes Fenster wählen, dann im Graph-Menü „maximum“ bzw. „minimum“ mit linker und rechter Suchgrenze. Ergebnis ist eine Näherung zur Kontrolle , kein Nachweis. Randextremum Wann prüfen? Immer, wenn der Definitionsbereich abgeschlossen ist. Am Rand ist \(f'\) meist nicht null — die notwendige Bedingung findet solche Stellen nicht. Linkskrümmung Kriterium und Bild? \(f''(x)>0\) auf \(I\) Der Graph ist eine Wanne ; die Tangentensteigung nimmt zu.Rechtskrümmung Kriterium und Bild? \(f''(x)<0\) auf \(I\) Der Graph ist ein Berg ; die Tangentensteigung nimmt ab.Wendestelle Notwendig und hinreichend? notwendig: \(f''(x_0)=0\) Gegenbeispiel \(x^{4}\) Was zeigt es? Bei \(f(x)=x^{4}\) ist \(f''(0)=0\), aber \(f''(x)=12x^{2}>0\) sonst überall — die Krümmung wechselt nicht. Es liegt ein Tiefpunkt vor, kein Wendepunkt. Wendetangente Gleichung? \(y=f'(x_W)\,(x-x_W)+f(x_W)\) Die Steigung kommt aus der ersten Ableitung — \(f''(x_W)\) ist dort ja gerade null.Bedeutung des Wendepunkts Anschaulich? Die Stelle mit der größten bzw. kleinsten Steigung in der Umgebung: der Graph läuft dort am steilsten, bevor er sich in die andere Richtung dreht. Wendestelle bei Grad 3 Kontrolltrick? Sie liegt genau in der Mitte zwischen Hoch- und Tiefpunkt: \(x_W=\dfrac{x_H+x_T}{2}\). Schnelle Probe für die Klausur. Extremwertaufgabe: die 7 Schritte Reihenfolge? Zielgröße → Formel → Nebenbedingung → einsetzen (+ Definitionsbereich) → ableiten und null setzen → Art prüfen und unbrauchbare Lösungen verwerfen → Randvergleich und Antwortsatz. Zielfunktion Was zeichnet sie aus? Sie beschreibt die zu optimierende Größe und hängt nur noch von einer Variablen ab — nach dem Einsetzen der Nebenbedingung. Erst dann wird abgeleitet. Nebenbedingung Wozu und woher? Sie stammt aus dem Aufgabentext (Umfang, Volumen, Materialmenge) und verbindet die beiden Variablen. Man löst sie nach einer Variablen auf und setzt ein. Definitionsbereich im Sachkontext Woran denken? Längen, Zeiten und Stückzahlen sind positiv, Schnittlängen kleiner als die halbe Seite. Lösungen außerhalb werden begründet verworfen — dafür gibt es einen eigenen Punkt. Optimale Dose Ergebnis? Bei festem Volumen ist die Oberfläche minimal, wenn \(h=2r\) gilt — die Dose ist also so hoch wie breit. Ergebnis unabhängig vom Volumen. Vollständiger Antwortsatz Was gehört hinein? Art des Punktes, beide Koordinaten , bei Sachaufgaben Zahl mit Einheit und die Bedeutung im Sachzusammenhang — bei Monotonie- und Krümmungsaussagen zusätzlich das „weil …“.
So lernst du damit: Erst die Vorderseite lesen und die Antwort laut sagen, dann umdrehen und vergleichen. Karten, bei denen du gezögert hast, im zweiten Durchgang noch einmal ziehen. Drei kurze Durchgänge an drei Tagen bringen mehr als eine lange Runde am Abend davor.
