Die Situation am Strand
Ein Rettungsschwimmer läuft an Land mit \(10\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}\) und schwimmt mit \(5\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}\). Die Person ist \(100\,\text{m}\) den Strand entlang und \(50\,\text{m}\) im Wasser entfernt.
- Zielgröße:die Gesamtzeit – sie soll minimal werden.
- Variable \(x\):Abstand der Einstiegsstelle zum Punkt, der der Person gegenüberliegt.
- Laufweg:\(s_1=100-x\).
- Schwimmweg:\(s_2=\sqrt{x^{2}+50^{2}}\) nach Pythagoras.
- Bereich:\(0\le x\le 100\).
- Grenzfälle:sofort schwimmen dauert ca. \(22{,}4\,\text{s}\), ganz laufen \(20\,\text{s}\) – dazwischen geht es schneller.
Gesamtzeit: \(t=\dfrac{s_1}{v_1}+\dfrac{s_2}{v_2}\)
Die Aufgabe in sieben Schritten
Diesmal ist ein Minimum gesucht – am Schema ändert das nichts.
- Schritt 1:die Gesamtzeit soll minimal werden.
- Schritt 2:\(t=\dfrac{s_1}{v_1}+\dfrac{s_2}{v_2}\).
- Schritt 3:\(v_1=10\), \(v_2=5\), \(s_1=100-x\), \(s_2=\sqrt{x^{2}+2500}\).
- Schritt 4/5:\(t(x)=\dfrac{100-x}{10}+\dfrac{\sqrt{x^{2}+2500}}{5}\) mit \(0\le x\le100\).
- Schritt 6:\(t′(x)=-\dfrac{1}{10}+\dfrac{x}{5\sqrt{x^{2}+2500}}=0\) ⇒ \(2x=\sqrt{x^{2}+2500}\) ⇒ \(3x^{2}=2500\) ⇒ \(x=\dfrac{50}{\sqrt3}\approx28{,}87\).
- Nachweis:\(t′\) wechselt das Vorzeichen von \(-\) nach \(+\) ⇒ Tiefpunkt; \(t(28{,}87)\approx18{,}66\,\text{s}\).
- Mit dem GTR:\(Y_1=t(x)\), Fenster \(0\le x\le100\), „minimum“ liefert \(x\approx28{,}87\), \(y\approx18{,}66\).
- Schritt 7:Er läuft rund \(71\,\text{m}\) am Strand und springt dann ins Wasser – nach ca. \(18{,}7\,\text{s}\) ist er bei der Person.
Verschiebe die Einstiegsstelle. Links siehst du den Strand von oben, rechts den Graphen der Gesamtzeit.
Strand-Simulator
Der Regler verschiebt die Stelle, an der der Rettungsschwimmer ins Wasser springt. Laufweg, Schwimmweg und die beiden Zeiten werden sofort neu berechnet und im Balken aufaddiert; gleichzeitig wandert der Punkt auf dem Graphen von \(t\). In der Nähe des Minimums rastet der Regler ein. Bedienung mit der Maus oder mit der Tastatur: Pfeiltasten verschieben die Stelle, Bild-auf und Bild-ab in Zehnerschritten, Pos1 und Ende springen an den Rand, die Eingabetaste spielt die Rettung ab.
Verschiebe die Einstiegsstelle und beobachte, wie sich die beiden Teilzeiten gegenläufig ändern.
Halte fest: Laufzeit und Schwimmzeit arbeiten gegeneinander – am Tiefpunkt ist der Graph fast waagerecht.
Rettungsschwimmer: Minimum bei \(x=\dfrac{50}{\sqrt3}\approx28{,}9\,\text{m}\) mit \(t\approx18{,}7\,\text{s}\)
Allgemeine Hinweise
Zeit, nicht Strecke
Der kürzeste Weg ist nicht der schnellste. Zielgröße ist die Zeit.
Kettenregel
Die Wurzel leitest du mit der Kettenregel ab. Die innere Ableitung ist \(2x\).
GTR nutzen
Wird die Gleichung unhandlich, hilft „minimum“ am GTR. Den Ansatz \(t′(x)=0\) schreibst du trotzdem auf.