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Wendestellen bestimmen

Dort, wo eine Kurve von der Rechts- in die Linkskrümmung kippt, liegt eine Wendestelle. Gefunden wird sie über \(f″\) — und anschließend mit einem zweiten Kriterium bestätigt.

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Wo die Krümmung kippt

An einer Wendestelle wechselt der Graph von der Links- in die Rechtskrümmung oder umgekehrt.

  • Wendestelle:Stelle \(x_W\), an der die Krümmung wechselt.
  • Wendepunkt:\(W\bigl(x_W\,|\,f(x_W)\bigr)\).
  • Monotonie:spielt keine Rolle — der Graph kann auf beiden Seiten steigen.
  • Notwendig:wechselt \(f''\) das Vorzeichen, muss es unterwegs null werden.
Am Wendepunkt kippt die Krümmung
xf(x)−2−112−22Wendepunkthier kippt die Krümmungrechtsgekrümmtf″(x) < 0linksgekrümmtf″(x) > 0Ein Krümmungswechsel — und genau eine Stelle, an der er stattfindet
Merke

Notwendige Bedingung: \(x_W\) ist Wendestelle \(\;\Rightarrow\; f''(x_W)=0\)

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Kandidaten prüfen

\(f''(x)=0\) liefert nur Kandidaten. Nicht jede Nullstelle von \(f''\) ist eine Wendestelle.

Drei Nullstellen von f″ — zwei Wendestellen
Dreimal gilt f″(x₀) = 0 — nur zweimal ist es eine Wendestellef″ wechselt + → −xf″+−Wendestellef″ wechselt − → +xf″−+Wendestellef″ berührt die Achse nurxf″++keine Wendestelle
  • \(+\) nach \(-\):von Links- in Rechtskrümmung: Wendestelle.
  • \(-\) nach \(+\):von Rechts- in Linkskrümmung: Wendestelle.
  • Kein Wechsel:\(f''\) berührt die Achse nur: keine Wendestelle.
  • f‴-Kriterium:\(f'''(x_W)\neq 0\) bestätigt die Wendestelle. Bei \(f'''(x_W)=0\) entscheidet das VZW-Kriterium.
Merke

Hinreichende Bedingung: \(f''(x_W)=0\) und \(f'''(x_W)\neq 0\;\Rightarrow\;\) Wendestelle

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Das Verfahren in vier Schritten

Du rechnest wie bei Extremstellen — nur eine Ableitung höher.

  • 1. Ableiten:\(f''\) und \(f'''\) bilden.
  • 2. Notwendig:\(f''(x)=0\) lösen.
  • 3. Hinreichend:mit dem f‴-Kriterium oder dem VZW-Kriterium prüfen.
  • 4. Punkt:\(x_W\) in \(f\) einsetzen.
  • Beispiel:\(f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x\): \(f''(x)=6x-12=0\Rightarrow x_W=2\); \(f'''(2)=6\neq 0\); \(f(2)=2\Rightarrow W(2\,|\,2)\).
Das Beispiel im Bild: f und f″ nebeneinander
f(x) = x³ − 6x² + 9x und die zugehörige zweite Ableitungxf(x)123424W(2 | 2)rechtsgekrümmtlinksgekrümmtxf″(x)1234−6,56,5f″(2) = 0f″(x) < 0f″(x) > 0

Wähle Funktion A oder das Gegenbeispiel. Vergleiche die Vorzeichen von \(f''\) an den Testpunkten links und rechts.

Wendestellen-Detektor

Oben siehst du den Graphen von \(f\), unten den Graphen von \(f″\). Verschiebe die Stelle \(x\), bis \(f″(x)=0\) angezeigt wird, und drücke dann auf „Vorzeichen prüfen“. Das Applet setzt einen Wert links und einen rechts von dieser Stelle in \(f″\) ein und zeigt beide Vorzeichen an. Bedienung mit der Maus über den Regler oder mit der Tastatur: Pfeil links und rechts verschieben die Stelle, Bild-auf und Bild-ab in größeren Schritten, die Eingabetaste startet die Prüfung.

oben: der Graph von fxf(x)−11234−2−112unten: die zweite Ableitung f″xf″(x)−11234−22
Stelle x
—
f″(x)
—
Krümmung dort
—

Bereit.

Halte fest: Bei A durchquert \(f''\) die Achse — Wendestelle. Beim Gegenbeispiel berührt \(f''\) die Achse nur, und \(f'''\) ist null — keine Wendestelle.

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Allgemeine Hinweise

Stelle oder Punkt?

\(x_W\) ist nur ein x-Wert. Für den Wendepunkt setzt du \(x_W\) in \(f\) ein, nicht in \(f''\).

f‴ = 0 heißt „offen“

Dann trifft das f‴-Kriterium keine Entscheidung. Prüfe mit dem VZW-Kriterium weiter.

Sattelpunkt erkennen

Gilt an der Wendestelle auch \(f'(x_W)=0\), liegt ein Sattelpunkt vor. Die Wendetangente ist dann waagerecht.

Videos

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