Worum es geht
Eine 330-ml-Dose soll mit möglichst wenig Blech auskommen. Gesucht ist die Höhe, bei der ihr Oberflächeninhalt minimal ist.
- Zylinder:festgelegt durch Radius \(r\) und Höhe \(h\), beide in cm.
- Zielgröße:Oberflächeninhalt \(O\) – er soll minimal werden.
- Nebenbedingung:Volumen \(V=\pi r^{2}h=330\;\text{cm}^{3}\).
- Kopplung:wird die Dose breiter, wird sie automatisch flacher.
Das Netz der Dose zeigt, woraus \(O\) besteht.
- Deckel und Boden:zwei Kreise mit je \(\pi r^{2}\).
- Mantel:Rechteck mit der Breite \(2\pi r\) und der Höhe \(h\).
Oberfläche eines Zylinders: \(O=2\pi r^{2}+2\pi r h\)
Die sieben Schritte an der Dose
Das Schema aus dem vorigen Unterkapitel, angewendet auf die Dose.
- Schritt 1:der Oberflächeninhalt soll minimal werden.
- Schritt 2:\(O=2\pi r^{2}+2\pi r h\).
- Schritt 3:\(\pi r^{2}h=330\).
- Schritt 4:nach \(h\) umstellen: \(h=\dfrac{330}{\pi r^{2}}\), einsetzen: \(O=2\pi r^{2}+\dfrac{660}{r}\).
- Schritt 5:Zielfunktion \(O(r)=2\pi r^{2}+\dfrac{660}{r}\) mit \(r>0\).
- Schritt 6:\(O′(r)=4\pi r-\dfrac{660}{r^{2}}=0\) ⇒ \(r^{3}=\dfrac{165}{\pi}\) ⇒ \(r\approx3{,}74\); \(O″(r)=4\pi+\dfrac{1320}{r^{3}}>0\) ⇒ Minimum; \(h=\dfrac{330}{\pi\cdot3{,}74^{2}}\approx7{,}5\).
- Schritt 7:Bei \(r\approx3{,}74\;\text{cm}\) und \(h\approx7{,}5\;\text{cm}\) ist der Materialverbrauch minimal.
- Realität:echte Dosen sind schlanker – Stabilität und Handhabung zählen mit.
Verändere den Radius. Das Volumen bleibt bei 330 ml, die Höhe passt sich an und \(O\) wird live berechnet.
Dosen-Designer
Der Regler stellt den Radius \(r\) zwischen 2 cm und 7 cm ein. Links wird die zugehörige Dose maßstabsgetreu gezeichnet, rechts wandert ein Punkt auf dem Graphen von \(O(r)\) mit. In der Nähe von \(r \approx 3{,}74\ \text{cm}\) rastet der Regler auf dem Minimum ein. Bedienung mit Maus oder Tastatur: Pfeiltasten in kleinen Schritten, Umschalt plus Pfeil in großen, Bild-auf und Bild-ab in halben Zentimetern, Pos1 und Ende an die Ränder, Enter springt direkt auf das Optimum.
Schiebe den Regler und beobachte beides gleichzeitig: die Form der Dose links und den Materialverbrauch rechts.
Halte fest: Um das Minimum herum ist die Kurve flach – eine sehr schlanke Dose wird dagegen schnell teuer.
Cola-Dose: \(O(r)=2\pi r^{2}+\dfrac{660}{r}\), Minimum bei \(r\approx3{,}74\;\text{cm}\), \(h\approx7{,}5\;\text{cm}\)
Allgemeine Hinweise
Nach h umstellen
\(h\) steht in \(\pi r^{2}h\) nur einmal und ohne Potenz. So vermeidest du Wurzeln in der Zielfunktion.
Richtig kürzen
In \(2\pi r\cdot\frac{330}{\pi r^{2}}\) kürzen sich \(\pi\) und ein \(r\). Übrig bleibt \(\frac{660}{r}\).
Höhe nicht vergessen
Gefragt ist die Höhe. Berechne sie am Ende aus der Nebenbedingung.