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Verfahren in 7 Schritten

Bei Extremwertaufgaben ist die Funktion nicht vorgegeben — man stellt sie selbst auf. Wie das Schritt für Schritt gelingt, zeigt hier die Box aus Papier.

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Wenn die Funktion fehlt

Bei einer Extremwertaufgabe steht am Anfang kein Funktionsterm, sondern eine Sachsituation. Die Funktion stellst du selbst auf.

  • Zielgröße:soll maximal oder minimal werden, z. B. ein Volumen.
  • Nebenbedingung:feste Vorgabe, an die du gebunden bist.
  • Variable \(x\):die eine Größe, die du frei wählst.
  • Zielfunktion:die Zielgröße als Funktion von \(x\) allein.
  • Definitionsbereich:nur die Werte von \(x\), die in der Situation Sinn ergeben.

Beispiel „Box aus Papier“: Aus den Ecken eines Quadrats mit 20 cm Seitenlänge werden Quadrate der Seite \(x\) ausgeschnitten. Die Ränder werden hochgeklappt.

Vom Papierquadrat zur offenen Schachtel
20 cm20 cmxBoden(20 − 2x) × (20 − 2x)1. Ecken ausschneidenfalten2. Ränder hochklappenc = xa = 20 − 2xb = 20 − 2x
  • Boden:Quadrat mit der Kante \(20-2x\).
  • Höhe:\(x\) – genau der hochgeklappte Streifen.
  • Sinnvoll:\(0<x<10\) – an beiden Rändern ist das Volumen null.
Merke

Extremwertaufgabe: größter oder kleinster Wert einer Zielgröße unter einer Nebenbedingung

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Das Schema in sieben Schritten

Der Rechenweg ist bei jeder Extremwertaufgabe derselbe. Hier mit den Ergebnissen der Box.

  • Schritt 1:Zielgröße benennen – das Volumen \(V\) soll maximal werden.
  • Schritt 2:Formel notieren: \(V=a\cdot b\cdot c\).
  • Schritt 3:Nebeninformationen: \(a=b=20-2x\), \(c=x\).
  • Schritt 4:Einsetzen: \(V=(20-2x)^{2}\cdot x\) – jetzt kommt nur noch \(x\) vor.
  • Schritt 5:Zielfunktion: \(f(x)=4x^{3}-80x^{2}+400x\) mit \(0<x<10\).
  • Schritt 6:\(f′(x)=12x^{2}-160x+400=0\) liefert \(x=\tfrac{10}{3}\approx3{,}3\) und \(x=10\); \(f″(\tfrac{10}{3})=-80<0\) ⇒ Maximum.
  • Schritt 7:Antwortsatz: Bei \(x\approx3{,}3\;\text{cm}\) ist das Volumen mit ca. \(592{,}6\;\text{cm}^{3}\) maximal.
Das Schema mit den Zwischenergebnissen der Box-Aufgabe
1Welche Größe soll extremal werden?Box: Volumen V, maximal2Formel für diese Größe notierenBox: V = a · b · c3Nebeninformationen sammelnBox: Papier 20 cm; a = b = 20 − 2x, c = x4Einsetzen und zusammenfassenBox: V = 400x − 80x² + 4x³5Als Funktionsgleichung f(x) schreibenBox: f(x) = 4x³ − 80x² + 400x6Maximum bzw. Minimum berechnenBox: f′(x) = 0 → x ≈ 3,37Antwortsatz formulierenBox: „… ist das Volumen maximal.“
Merke

Sieben Schritte: Zielgröße → Formel → Nebenbedingung → Einsetzen → Zielfunktion → Extremum → Antwortsatz

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Das Ergebnis am Graphen

Der Graph der Zielfunktion bestätigt die Rechnung.

Der Graph der Zielfunktion f(x) = 4x³ − 80x² + 400x
x in cmV in cm³246810200400600HP (3,3 | 592,6)TP (10 | 0)sinnvoll: 0 < x < 10f(x) = 4x³ − 80x² + 400x
  • Verlauf:im Bereich \(0<x<10\) steigt \(V\) erst an und fällt dann auf null.
  • Hochpunkt:bei \(x\approx3{,}3\) mit \(V\approx592{,}6\;\text{cm}^{3}\); Boden dann ca. \(13{,}3\;\text{cm}\).
  • Vorzeichen von \(f′\):bei \(3{,}3\) Wechsel von \(+\) nach \(-\) (Hochpunkt), bei \(10\) von \(-\) nach \(+\) (Tiefpunkt).
Die Ableitung f′ und ihre Vorzeichen
xf′(x)246810−200200400x₂ ≈ 3,3x₁ = 10f′ > 0f steigtf′ < 0f fälltf′ > 0f′(x) = 12x² − 160x + 400Vorzeichenwechsel + → − bei x ≈ 3,3: Hochpunkt · − → + bei x = 10: Tiefpunkt

Stelle den Einschnitt \(x\) ein oder starte die Faltung. Beobachte, wann die Schachtel am meisten fasst.

Faltmaschine

Der gelbe Punkt merkt sich das größte Volumen, das du bisher erreicht hast. Bedienung mit der Maus über den Regler und die Schaltflächen oder mit der Tastatur: Pfeil links und rechts ändern \(x\) um 0,1 cm, Bild-auf und Bild-ab um 1 cm, Pos1 und Ende springen an die Ränder, die Eingabetaste startet und stoppt die Faltung.

Draufsicht: Papier 20 cm × 20 cmEckquadrat x = 1,0 cmDie gefaltete Schachtela = b = 18,0 cm · c = 1,0 cmVolumen V(x) in cm³xV246810200400600bester Wert: —blaue Spur: bisher gefaltetgelber Punkt: größtes Volumen
Einschnitt x
—
Bodenkante 20 − 2x
—
Höhe c
—
Volumen V(x)
—

Ziehe den Regler langsam von links nach rechts und beobachte, wann die Schachtel am meisten fasst.

Halte fest: Kleines \(x\) gibt einen großen, flachen Kasten, großes \(x\) einen hohen mit winzigem Boden – dazwischen liegt das Optimum bei \(x\approx3{,}3\;\text{cm}\).

Merke

Box aus Papier: \(V_{\max}\approx592{,}6\;\text{cm}^{3}\) bei \(x=\tfrac{10}{3}\;\text{cm}\approx3{,}3\;\text{cm}\)

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Allgemeine Hinweise

Nur noch x

Nach Schritt 4 darf nur noch \(x\) im Term stehen. Sonst ist die Nebenbedingung nicht richtig eingesetzt.

Lösungen prüfen

Nicht jede Lösung von \(f′(x)=0\) passt. Bei \(x=10\) bleibt gar kein Boden übrig.

Antwort mit Einheit

Schritt 7 übersetzt zurück in die Sachsituation. Nenne den Wert mit Einheit.

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