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Die Goldfolie

Aus einem dreieckigen Rest Blattgold soll das größte Rechteck werden. Eine Extremwertaufgabe, Schritt für Schritt nach dem bekannten Schema durchgerechnet.

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Die Aufgabe und die Nebenbedingung

Aus einem rechtwinkligen Dreieck aus Blattgold, 20 cm breit und 15 cm hoch, soll das größtmögliche Rechteck geschnitten werden.

  • Lage:das Rechteck liegt in der rechtwinkligen Ecke, seine obere rechte Ecke auf der Hypotenuse.
  • Variable:die Breite \(x\) des Rechtecks.
  • Zielgröße:der Flächeninhalt \(A\) des Rechtecks.
  • Nebenbedingung:die Höhe reicht genau bis zur Hypotenuse.
  • Definitionsbereich:\(0<x<20\) – an beiden Rändern ist die Fläche null.
Die Folie mit dem einbeschriebenen Rechteck
20 cm15 cmxg(x)A = x · g(x)Hypotenuse = Kante der Foliex in cmy in cm

Die Hypotenuse ist eine Gerade. Ihre Gleichung liefert die Höhe des Rechtecks.

  • \(y\)-Achsenabschnitt:\(b=15\).
  • Steigung:\(m=\dfrac{-15}{20}=-\dfrac{3}{4}\) – die Gerade fällt.
  • Höhe:an der Stelle \(x\) ist das Rechteck \(g(x)\) hoch.
Schritt 4: die Hypotenuse als Gerade \(g(x)=-\tfrac{3}{4}x+15\)
481216203691215+4−3(0 | 15)(20 | 0)g(x) = −0,75 x + 15x in cmy in cm
Merke

Höhe des Rechtecks: \(g(x)=-\tfrac{3}{4}x+15\)

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Die sieben Schritte an der Goldfolie

Das bekannte Schema, angewendet auf die Folie.

  • Schritt 1:der Flächeninhalt des Rechtecks soll maximal werden.
  • Schritt 2:\(A=a\cdot b\).
  • Schritt 3:Breite \(x\), Höhe \(g(x)=-\tfrac{3}{4}x+15\).
  • Schritt 4:\(A=x\cdot\left(-\tfrac{3}{4}x+15\right)\).
  • Schritt 5:\(A(x)=-\tfrac{3}{4}x^{2}+15x\) mit \(0<x<20\).
  • Schritt 6:\(A′(x)=-1{,}5x+15=0\) ⇒ \(x=10\); \(A″(x)=-1{,}5<0\) ⇒ Maximum; \(g(10)=7{,}5\), \(A(10)=75\).
  • Schritt 7:Einschnitt 10 cm von der rechtwinkligen Ecke – das Rechteck ist 10 cm × 7,5 cm groß und hat 75 cm².
Die Zielfunktion \(A(x)=-\tfrac{3}{4}x^{2}+15x\) mit ihrem Hochpunkt
481216201530456075A′(x) = −1,5 x + 15H(10 | 75)A′(10) = 0x in cmA in cm²A′ > 0 — A wächstA′ < 0 — A fällt

Stelle die Breite \(x\) ein. Das Rechteck wird in die Folie gezeichnet, rechts wandert der Punkt über den Graphen von \(A\).

Zuschnitt-Werkstatt

Stelle die Breite ein und beobachte Höhe, Fläche und Steigung. In der Nähe von \(x=10\) rastet der Regler auf dem Hochpunkt ein.

x = 4,0 cm
Die Folie — Ansicht von obenxg(x)20 cm15 cm
Die Fläche A(x) als Funktion5101520255075H(10 | 75)x in cmA in cm²
Breite x
4,0 cm
Höhe g(x)
12,0 cm
Fläche A(x)
48,0 cm²
Steigung A′(x)
+9,0

Zieh den Regler nach rechts — die Fläche wächst noch.

Halte fest: Nahe \(x=10\) ändert sich die Fläche kaum – genau das bedeutet \(A′(10)=0\).

Merke

Goldfolie: \(A(x)=-\tfrac{3}{4}x^{2}+15x\), Hochpunkt \(H(10\mid 75)\)

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Allgemeine Hinweise

Vorzeichen der Steigung

Die Hypotenuse fällt, also ist \(m=-\tfrac{3}{4}\). Mit \(+\tfrac{3}{4}\) rechnest du den Rest umsonst.

Frage beantworten

Gefragt ist die Einschnittstelle. Die 10 cm gehören in den Antwortsatz.

Schnelltest

Das beste Rechteck hat die halbe Breite und die halbe Höhe. Es bedeckt genau die Hälfte der 150 cm² Dreiecksfläche.

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