Zwölf Stellen, an denen in Klausur V regelmäßig Punkte verloren gehen — nicht durch Rechenfehler, sondern durch Denkfehler. Links steht jeweils, was häufig geschrieben wird, rechts die richtige Fassung, darunter der Grund. Ganz unten kannst du dich in zwei interaktiven Aufgaben selbst prüfen.
Notwendig oder hinreichend?
Die Bedingung \(f'(x_0)=0\) ist notwendig, aber nicht hinreichend. Gegenbeispiel: \(f(x)=x^{3}\). Ohne hinreichendes Kriterium fehlt die Begründung — und damit der Punkt, selbst wenn das Ergebnis stimmt.
Denk an die Form: \(f''<0\) ist ein Berg (rechtsgekrümmt) ⇒ Hochpunkt; \(f''>0\) ist eine Wanne (linksgekrümmt) ⇒ Tiefpunkt. Wer die Wanne im Kopf hat, verwechselt es nicht mehr.
Gegenbeispiel \(f(x)=x^{4}\): dort liegt bei \(x=0\) ein Tiefpunkt. Für einen Wendepunkt braucht man zusätzlich den Vorzeichenwechsel von \(f''\) (oder \(f'''(x_0)\neq 0\)). Die Struktur ist dieselbe wie bei \(f'\) und Extremstellen — eine Stufe höher.
Ein hinreichendes Kriterium erlaubt keinen Umkehrschluss: Wenn es nicht greift, ist damit gar nichts gezeigt. Bei \(f(x)=x^{4}\) ist \(f''(0)=0\) und trotzdem liegt ein Tiefpunkt vor. Merke: \(f''(x_0)=0\) ist ein Signal zum Umschalten, kein Ergebnis.
Monotonie und Gleichungen lösen
Monotonie ist eine Eigenschaft einer Funktion auf einem Intervall, nicht an einer einzelnen Stelle. Und untersucht wird das Vorzeichen von \(f'\), ausgesagt wird etwas über \(f\).
Die Extremstelle selbst gehört zu beiden angrenzenden Monotonieintervallen: Der Graph steigt bis zum Hochpunkt einschließlich und fällt ab dort einschließlich. Nach außen bleibt die Klammer offen, weil \(\infty\) keine Zahl ist.
Durch \(x^{2}\) darf man nur teilen, wenn \(x\neq0\) ist — und genau \(x=0\) ist hier eine Lösung. Nie durch eine Variable dividieren, immer ausklammern und den Satz vom Nullprodukt benutzen.
Für den Vorzeichenwechsel setzt man Stellen links und rechts der Kandidatenstelle ein — nie die Stelle selbst und nie zwei Stellen aus demselben Teilintervall. Zwischen zwei Probestellen darf keine weitere Nullstelle von \(f'\) liegen.
Extremwertaufgaben und Antwortsätze
Abgeleitet wird immer nach dem Einsetzen der Nebenbedingung. Solange zwei Variablen im Term stehen, ist die Ableitung sinnlos. Die Reihenfolge des Sieben-Schritte-Schemas ist kein Vorschlag, sondern notwendig.
Der Definitionsbereich ergibt sich aus dem Sachkontext — negative Längen, zu große Schnitte oder Zeiten nach Versuchsende sind ausgeschlossen. Für das begründete Verwerfen gibt es einen eigenen Punkt.
Am Rand eines abgeschlossenen Intervalls ist \(f'\) im Allgemeinen nicht null — die notwendige Bedingung findet solche Stellen also gar nicht. Abgeschlossenes Intervall ⇒ Randwerte in die Vergleichstabelle, immer.
Ein vollständiger Antwortsatz nennt Art, Punkt (beide Koordinaten) und — bei Sachaufgaben — Einheit und Bedeutung. Die Stelle allein ist eine halbe Antwort; bei Monotonie- und Krümmungsaussagen gehört zusätzlich das „weil …“ dazu.