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Ableitungsregeln anwenden

Ableiten ist das Handwerkszeug des ganzen Kapitels: Vier Regeln genügen für jede ganzrationale Funktion — und das Ergebnis f′(x₀) ist immer die Steigung der Tangente.

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Die Ableitung ist eine Steigung

Die Ableitung \(f'(x_0)\) sagt dir, wie steil der Graph an der Stelle \(x_0\) ist.

  • Tangente:die Gerade, die sich im Punkt \((x_0\mid f(x_0))\) an den Graphen anschmiegt.
  • Ableitung an einer Stelle:\(f'(x_0)\) ist eine Zahl — die Steigung dieser Tangente.
  • Ableitungsfunktion:\(f'\) ordnet jeder Stelle \(x\) die Tangentensteigung zu. Sie hat einen eigenen Graphen.
  • Vorzeichen:\(f'(x_0)>0\): Graph steigt; \(f'(x_0)<0\): Graph fällt; \(f'(x_0)=0\): Tangente waagerecht.
  • Schreibweisen:\(f'(x)\), \(y'\) oder \(\tfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\) — hier immer \(f'\).
Die Tangente im Punkt P — ihre Steigung ist der Wert f′(2)
-2-11234-112345xy1 nach rechts2 nach obenP(2 | 2)fTangenteSteigung der Tangente = 2 : 1 = 2 — also f′(2) = 2
Merke

Ableitung: \(f'(x_0)=\) Steigung der Tangente im Punkt \((x_0\mid f(x_0))\)

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Die vier Regeln

Eine ganzrationale Funktion ist eine Summe von Vielfachen von \(x\)-Potenzen, etwa \(f(x)=\tfrac14x^{4}-x^{3}+5\). Dafür reichen vier Regeln.

  • Potenzregel:\(f(x)=x^{n}\;\Rightarrow\;f'(x)=n\cdot x^{n-1}\) — Exponent nach vorn, dann um 1 verkleinern.
  • Faktorregel:\(f(x)=c\cdot g(x)\;\Rightarrow\;f'(x)=c\cdot g'(x)\) — der Faktor bleibt stehen.
  • Summenregel:\(f(x)=g(x)+h(x)\;\Rightarrow\;f'(x)=g'(x)+h'(x)\) — jeden Summanden einzeln ableiten.
  • Konstantenregel:\(f(x)=c\;\Rightarrow\;f'(x)=0\) — eine waagerechte Gerade hat Steigung 0.
Die Potenzregel als Muster — und fünf Fälle, die man im Kopf haben sollte
xn⟶n · xn−1Exponent wandert als Faktor nach vornund wird im Ergebnis um 1 kleinerx⁴→4x³x³→3x²x²→2xx→15→0links f(x), rechts f′(x)
  • \(f(x)=x\):\(x=x^{1}\), also \(f'(x)=1\cdot x^{0}=1\).
  • \(f(x)=x^{2}\):\(f'(x)=2x\).
  • Absolutes Glied:der Summand ohne \(x\) fällt weg: \(x^{3}+5\;\to\;3x^{2}\).
  • Vorzeichen:das Minus gehört zum Faktor: \(-x^{3}\;\to\;-3x^{2}\).
  • Beispiel:\(f(x)=\tfrac14x^{4}-x^{3}+5\;\Rightarrow\;f'(x)=x^{3}-3x^{2}\).
Merke

Ableitung einer Potenz: \(f(x)=a\cdot x^{n}\;\Rightarrow\;f'(x)=a\cdot n\cdot x^{n-1}\)

Stell bis zu vier Summanden mit Faktor und Exponent ein. Vergleiche den Graphen von \(f\) (blau) mit dem Graphen von \(f'\) (orange).

Ableitungs-Werkstatt

Setz einen Summanden auf den Faktor 0, wenn du ihn nicht brauchst. Der Schalter „Regel zeigen“ blendet zu jeder Zeile die passende Regel ein.

—
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—
—
Funktionsterm f(x)—
−224−4xy
Graph von fGraph von f′

Stelle die vier Summanden ein.

Halte fest: Wo der orange Graph die \(x\)-Achse schneidet, hat der blaue Graph eine waagerechte Tangente.

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Die zweite Ableitung

Leitest du \(f'\) noch einmal ab, erhältst du die zweite Ableitung \(f''\). Es gelten dieselben vier Regeln.

  • Graph von \(f'\):wo er die \(x\)-Achse schneidet, ist die Tangente an \(f\) waagerecht.
  • Beispiel:\(f(x)=\tfrac14x^{4}-2x^{2}\;\Rightarrow\;f'(x)=x^{3}-4x\).
Beispiel 2: der Graph von f (blau) und der seiner Ableitung f′ (orange)
-2-112-6-4-2246xyff′hier ist f′(x) = 0waagerechte Tangente an f
  • Zweite Ableitung:\(f''\) entsteht durch Ableiten von \(f'\). Sie beschreibt später die Krümmung.
  • Beispiel:\(f'(x)=x^{3}-3x^{2}\;\Rightarrow\;f''(x)=3x^{2}-6x\).
  • Grad:bei jedem Ableiten sinkt der Grad um 1.
Von f über f′ zu f″ — zwei Mal dieselben vier Regeln
f(x)¼x⁴ − x³ + 5f′(x)x³ − 3x²f″(x)3x² − 6xableitenableitenJeder Schritt senkt den Grad um 1 — das absolute Glied fällt jeweils weg.
Merke

Zweite Ableitung: \(f''(x)=\big(f'(x)\big)'\)

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Allgemeine Hinweise

Aus x wird 1

Wegen \(x=x^{1}\) ist die Ableitung \(1\cdot x^{0}=1\). Das Ergebnis ist nicht 0.

Konstanten fallen weg

Ein Summand ohne \(x\) liefert beim Ableiten 0. In \(f'\) taucht er nicht mehr auf.

Grad prüfen

Der Grad von \(f'\) ist um 1 kleiner als der von \(f\). Steht die höchste Potenz noch da, fehlt ein Schritt.

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