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Sattelpunkte

Auch dort, wo der Graph waagerecht verläuft, muss kein Hoch- oder Tiefpunkt liegen. Sattelpunkte sind Wendepunkte mit Steigung null — und damit keine Extrempunkte.

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Waagerecht — und trotzdem kein Extrempunkt

Ein Sattelpunkt hat eine waagerechte Tangente. Trotzdem ist er kein Extrempunkt.

  • Stationäre Stelle:Stelle mit \(f'(x_0)=0\) — nur ein Kandidat.
  • Sattelpunkt:Wendepunkt mit der Steigung null.
  • Verlauf:der Graph steigt auf beiden Seiten oder fällt auf beiden Seiten.
  • Terrassenpunkt:anderer Name für den Sattelpunkt.
Der Klassiker: f(x) = x³ hat im Ursprung einen Sattelpunkt
xywaagerechte TangenteS(0 | 0) — Sattelpunktf′ > 0f′ > 0f(x) = x³
  • Beispiel:\(f(x)=x^{3}\): \(f'(x)=3x^{2}\), also \(f'(0)=0\). Links und rechts ist \(f'>0\) — der Graph steigt durchgehend.
  • Hochpunkt:der Graph steigt vor \(x_0\) und fällt danach.
  • Tiefpunkt:der Graph fällt vor \(x_0\) und steigt danach.
Merke

Sattelpunkt: Wendepunkt mit \(f'(x_S)=0\) — kein Extrempunkt

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So weist man einen Sattelpunkt nach

Am Sattelpunkt wird \(f'\) null, wechselt aber das Vorzeichen nicht.

  • VZW-Kriterium:\(+\) nach \(-\): Hochpunkt; \(-\) nach \(+\): Tiefpunkt; kein Wechsel: Sattelpunkt.
  • f″-Kriterium:versagt hier immer, weil am Sattelpunkt \(f''(x_S)=0\) gilt.
  • f‴-Kriterium:\(f'''(x_S)\neq 0\) bestätigt die Wendestelle.
Die drei Vorzeichenleisten von f′ im Vergleich
f′ > 0f′ < 0f′(x₀) = 0HochpunktVorzeichenwechsel von + nach −f′ < 0f′ > 0f′(x₀) = 0TiefpunktVorzeichenwechsel von − nach +f′ > 0f′ > 0f′(x₀) = 0Sattelpunktkein Vorzeichenwechsel
Merke

Sattelpunkt-Nachweis: \(f'(x_S)=0,\ f''(x_S)=0,\ f'''(x_S)\neq 0\;\Rightarrow\;\) Sattelpunkt

Beispiel: \(f(x)=x^{3}-3x^{2}+3x-1\).

  • Ableitungen:\(f'(x)=3x^{2}-6x+3\), \(f''(x)=6x-6\), \(f'''(x)=6\).
  • Notwendig:\(3(x-1)^{2}=0\;\Rightarrow\;x_0=1\).
  • Prüfen:\(f''(1)=0\) und \(f'''(1)=6\neq 0\) \(\Rightarrow\) Sattelpunkt.
  • Kontrolle:\(f'(0{,}5)=f'(1{,}5)=0{,}75>0\) — kein Vorzeichenwechsel.
  • Punkt:\(f(1)=0\), also \(S(1\,|\,0)\).
f, f′ und f″ zum Beispiel — f′ berührt die Achse nur
xy123S(1 | 0)f(x) = (x − 1)³f′(x) = 3(x − 1)²f″(x) = 6x − 6

Drei Graphen, jeder mit \(f'(x_0)=0\). Vergleiche die Farben der Tangenten links und rechts der Stelle.

Vergleichsstation: waagerecht ist nicht gleich Extrempunkt

Alle drei Kurven haben bei \(x_0\) eine waagerechte Tangente. Vergrößere den Abstand \(h\) und beobachte die beiden Tangenten links und rechts davon: Ihre Farbe zeigt das Vorzeichen von \(f'\).

Fall 1Hochpunkt?x₀++Fall 2Tiefpunkt?x₀++Fall 3Sattelpunkt?x₀++
Abstand h
0,00
Fall 1: f′ links / rechts
0 / 0
Fall 2: f′ links / rechts
0 / 0
Fall 3: f′ links / rechts
0 / 0

Bei h = 0 stehen alle drei Tangenten waagerecht — die notwendige Bedingung f′(x₀) = 0 ist überall erfüllt. Erst ein Blick auf die Umgebung trennt die drei Fälle. Mit den Pfeiltasten lässt sich h auch direkt in der Grafik ändern.

Halte fest: Nur in Fall 3 tragen beide Tangenten dieselbe Farbe. Kein Vorzeichenwechsel von \(f'\) heißt: Der Graph macht nur eine Pause — ein Sattelpunkt.

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Allgemeine Hinweise

f″ = 0 ist kein Beweis

\(f''(x_0)=0\) heißt nur: Das f″-Kriterium entscheidet nicht. Auch \(x^{4}\) hat dort einen Tiefpunkt.

Kein Extrempunkt

Ein Sattelpunkt gehört nicht in die Liste der Extrempunkte. Er ist ein Wendepunkt mit Steigung null.

Quadrat erkennen

Lässt sich \(f'\) als \(a(x-x_0)^{2}\) schreiben, wechselt das Vorzeichen bei \(x_0\) nicht. Dann liegt ein Sattelpunkt vor.

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