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Übung AFB I

Zehn gemischte Aufgaben zum sicheren Anwenden: ableiten, Monotonie, notwendige und hinreichende Bedingung, Wendepunkte und eine erste Extremwertaufgabe.

0 / 0 Aufgaben

Zehn gemischte Aufgaben auf Anforderungsbereich I: Du wendest die Verfahren aus Kapitel 5 direkt so an, wie sie eingeführt wurden — ableiten, Bedingung ansetzen, Kandidaten prüfen, Antwortsatz schreiben. Fünf Aufgaben sind interaktiv, fünf rechnest du auf Papier und vergleichst dann mit der Lösung. Alle Themen von 5.0 bis 5.4 kommen vor, damit du merkst, wo noch eine Lücke ist.

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Ableiten, Monotonie und die Bedingungen

A1Notwendig, hinreichend oder Antwortsatz?AFB I
Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke die Ziffer des Korbs.
1notwendige Bedingung
2hinreichende Bedingung
3Antwortsatz
Die notwendige Bedingung siebt Kandidaten aus: ohne \(f'(x_0)=0\) keine Extremstelle. Die hinreichende Bedingung entscheidet, ob aus dem Kandidaten wirklich ein Hoch- oder Tiefpunkt wird. Der Antwortsatz nennt am Ende Art, Stelle und Punkt im Sachzusammenhang.
A2Monotonieintervalle von \(x^{3}-3x\)AFB I

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x)=x^{3}-3x\).

  1. Bestimme \(f'(x)\) und alle Nullstellen von \(f'\).
  2. Gib die maximalen Monotonieintervalle von \(f\) an.
  3. Formuliere einen vollständigen Antwortsatz.
Lösung anzeigen

a) \(f'(x)=3x^{2}-3=3(x^{2}-1)=3(x-1)(x+1)\), also \(x_1=-1\) und \(x_2=1\).

b) Probestellen einsetzen: \(f'(-2)=9>0\), \(f'(0)=-3<0\), \(f'(2)=9>0\).

\(f\) ist streng monoton steigend auf \(]-\infty;-1]\) und auf \([1;\infty[\),
\(f\) ist streng monoton fallend auf \([-1;1]\).

c) „Der Graph von \(f\) steigt bis \(x=-1\), fällt dann bis \(x=1\) und steigt danach wieder, weil \(f'\) genau an diesen Stellen das Vorzeichen wechselt.“

Achtung: Die Randstellen \(-1\) und \(1\) gehören zu beiden angrenzenden Intervallen — deshalb schreibt man eckige Klammern.

A3Extremstelle Schritt für SchrittAFB I
Jeder richtige Schritt schaltet den nächsten frei. Gegeben ist \(f(x)=x^{2}-6x+5\). Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.
  1. Wie lautet \(f'(x)\) an der Stelle \(x\)? Gib den Wert von \(f'(0)\) an.
  2. Löse \(f'(x)=0\). Welche Extremstelle ergibt sich?
  3. Berechne \(f''(3)\).
  4. Welchen Funktionswert hat \(f\) an dieser Stelle?
\(f'(x)=2x-6\), also \(f'(0)=-6\) und \(f'(x)=0\) für \(x=3\). Wegen \(f''(x)=2>0\) liegt ein Tiefpunkt vor: \(T(3\mid -4)\). Bei einer nach oben geöffneten Parabel ist das der Scheitelpunkt — dasselbe Ergebnis wie mit der Scheitelform.
A4Erste und zweite AbleitungAFB I

Gegeben ist \(f(x)=2x^{4}-3x^{2}+7x-1\).

  1. Bilde \(f'(x)\) und \(f''(x)\).
  2. Berechne \(f'(1)\) und \(f''(1)\) und deute beide Werte.
Lösung anzeigen

a) \(f'(x)=8x^{3}-6x+7\) und \(f''(x)=24x^{2}-6\).

b) \(f'(1)=8-6+7=9\): Die Tangente an \(G_f\) hat bei \(x=1\) die Steigung 9, der Graph steigt dort also steil an.

\(f''(1)=24-6=18>0\): Der Graph ist bei \(x=1\) linksgekrümmt. Weil \(f'(1)\neq 0\) ist, liegt dort keine Extremstelle — die zweite Ableitung beschreibt hier nur die Krümmung.

Merke: Summen- und Faktorregel gliedweise anwenden; der konstante Summand \(-1\) fällt weg, der lineare Summand \(7x\) wird zur Konstanten 7.

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Extremstellen, Krümmung und Wendepunkte

A5Sechs Aussagen zur PrüfungAFB I
Sechs Aussagen nacheinander. Bei einem Fehler beginnt die Serie von vorn — dann liest du die Erklärung noch einmal.
Aussage 1 von 6

Notwendig heißt: muss erfüllt sein. Hinreichend heißt: reicht aus. Beide Richtungen zu verwechseln ist der häufigste Fehler in Klausur V.
A6Krümmungsverhalten bestimmenAFB I

Gegeben ist \(f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x\).

  1. Bestimme \(f''(x)\) und untersuche das Krümmungsverhalten von \(G_f\).
  2. Berechne die Wendestelle und den zugehörigen Wendepunkt.
Lösung anzeigen

a) \(f'(x)=3x^{2}-12x+9\), \(f''(x)=6x-12\).

\(f''(x)<0\) für \(x<2\) \(\Rightarrow\) rechtsgekrümmt; \(f''(x)>0\) für \(x>2\) \(\Rightarrow\) linksgekrümmt.

b) \(f''(x)=0 \Leftrightarrow 6x-12=0 \Leftrightarrow x=2\). Da \(f''\) dort das Vorzeichen wechselt, ist \(x=2\) eine Wendestelle.

\(f(2)=8-24+18=2\), also \(W(2\mid 2)\).

Antwortsatz: „Der Graph von \(f\) ist für \(x<2\) rechtsgekrümmt und für \(x>2\) linksgekrümmt; bei \(W(2\mid 2)\) wechselt er die Krümmungsrichtung.“

A7Wendepunkt berechnenAFB I
Gegeben ist \(f(x)=x^{3}-3x^{2}+2\). Berechne zuerst \(f''\), dann die drei Werte. Enter prüft.
\(f'(x)=3x^{2}-6x\), \(f''(x)=6x-6=0\Rightarrow x_W=1\). \(f(1)=1-3+2=0\) und \(f'(1)=3-6=-3\). Der Wendepunkt ist \(W(1\mid 0)\); dort ist der Graph am steilsten fallend — die Wendetangente hat die Steigung \(-3\).
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Extremwertaufgaben und Antwortsätze

A8Das größte BeetAFB I

Ein rechteckiges Beet soll mit \(40\;\text{m}\) Zaun eingefasst werden. Die eingeschlossene Fläche soll möglichst groß sein.

  1. Stelle die Zielfunktion \(A(x)\) in Abhängigkeit von einer Seitenlänge \(x\) auf und gib den Definitionsbereich an.
  2. Berechne die Maße des Beetes mit dem größten Flächeninhalt.
Lösung anzeigen

a) Umfang: \(2x+2y=40 \Rightarrow y=20-x\).

\(A(x)=x\,(20-x)=20x-x^{2}\), \(\;0<x<20\)

b) \(A'(x)=20-2x=0 \Rightarrow x=10\). \(A''(x)=-2<0\), also liegt ein Maximum vor.

\(y=20-10=10\) und \(A(10)=100\).

Antwortsatz: „Das Beet ist bei einer Seitenlänge von \(10\;\text{m}\) mal \(10\;\text{m}\) am größten; die Fläche beträgt dann \(100\;\text{m}^{2}\).“ Das flächengrößte Rechteck mit festem Umfang ist immer ein Quadrat — ein gutes Kontrollergebnis.

A9Die sieben Schritte ordnenAFB I
Bringe die sieben Schritte des Extremwertverfahrens in die richtige Reihenfolge — ziehen oder Pfeil-Buttons benutzen.
1Zielgröße festlegen: Was soll maximal oder minimal werden?
2Zielgröße durch eine Formel ausdrücken (noch mit zwei Variablen).
3Nebenbedingung aus dem Text aufstellen und nach einer Variablen auflösen.
4Einsetzen: Zielfunktion mit nur einer Variablen und Definitionsbereich angeben.
5Ableiten und die notwendige Bedingung \(f'(x)=0\) lösen.
6Mit \(f''\) oder Vorzeichenwechsel prüfen, ob Maximum oder Minimum vorliegt.
7Randwerte vergleichen und den Antwortsatz im Sachzusammenhang formulieren.
Der häufigste Reihenfolgefehler: erst ableiten, dann die Nebenbedingung einsetzen. Abgeleitet wird immer nach dem Einsetzen, sonst steht in der Ableitung noch eine zweite Variable.
A10Extrempunkte rechnerisch und mit dem GTRAFB I

Gegeben ist \(f(x)=x^{3}-3x^{2}-9x+5\).

  1. Bestimme rechnerisch alle Extrempunkte von \(G_f\).
  2. Kontrolliere dein Ergebnis mit dem GTR und notiere, welche Menüpunkte du benutzt hast.
Lösung anzeigen

a) \(f'(x)=3x^{2}-6x-9=3(x^{2}-2x-3)=3(x-3)(x+1)\).

Notwendige Bedingung: \(x_1=-1\), \(x_2=3\).

\(f''(x)=6x-6\): \(f''(-1)=-12<0 \Rightarrow\) Hochpunkt, \(f''(3)=12>0 \Rightarrow\) Tiefpunkt.

\(f(-1)=-1-3+9+5=10\) und \(f(3)=27-27-27+5=-22\).

\(H(-1\mid 10)\) und \(T(3\mid -22)\)

b) Funktion unter \(Y_1\) eingeben, Fenster etwa \(-4\le x\le 6\), \(-30\le y\le 20\), dann im Graph-Menü „maximum“ bzw. „minimum“ wählen und die Suchgrenzen links und rechts der Stelle setzen. Der GTR liefert dieselben Punkte — er ersetzt aber nicht die Rechnung, sondern kontrolliert sie.

Weiter übenÜbung AFB IIDieselben Themen, aber mehrschrittig: vollständige Untersuchungen, Fehlersuche und Extremwertaufgaben mit Nebenbedingung. Vorher prüfenTypische FehlerDie zehn Stolperstellen, die in Klausur V die meisten Punkte kosten — mit Gegenbeispiel und Reparatur.