ZurückZur KapitelübersichtAlle Unterkapitel der Differenzialrechnung auf einen Blick
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Roter Faden
Wie die fünf Abschnitte zusammenhängen
So hängt das ganze Kapitel zusammen — von zwei Punkten auf einem Graphen bis zur Normalen:
- 3.1 Änderungsraten:Zwei Punkte legen eine Sekante fest. Ihre Steigung \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\) ist die durchschnittliche Änderungsrate. Rückt der zweite Punkt heran, entsteht die lokale Änderungsrate.
- 3.2 Die Ableitung:Der Grenzwert des Differenzenquotienten ist \(f'(x_0)\) — eine Zahl, nämlich die Tangentensteigung. Wandert \(x_0\), entsteht daraus die Funktion \(f'\); die NEW-Regel übersetzt den Graphen von \(f\) in den von \(f'\).
- 3.3 Ableitung ohne CAS:Die h-Methode liefert die Ableitung von \(x^{2}\) und \(\frac{1}{x}\) von Hand. Aus solchen Rechnungen entsteht die Potenzregel.
- 3.4 Ableitungsregeln:Potenz-, Faktor- und Summenregel plus \(\sin'=\cos\) und \(\cos'=-\sin\). Zwölf Zeilen Formeltafel reichen für alle Terme dieses Halbjahres.
- 3.5 Tangente und Normale:\(m=f'(x_0)\) einsetzen, Punkt einsetzen, \(b\) ausrechnen. Die Normale nimmt statt \(m\) den negativen Kehrwert \(-\frac{1}{m}\).
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Formelsammlung
Alles, was man auswendig braucht
| Thema | Formel | Kurz erklärt |
|---|---|---|
| Durchschnittliche Änderungsrate | \(m=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\) | Steigung der Sekante über \([a\,;\,b]\) |
| Differenzenquotient (h-Form) | \(\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\) | dieselbe Sekantensteigung, nur anders benannt |
| Ableitung an einer Stelle | \(f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\) | Tangentensteigung in \(x_0\) — eine Zahl |
| Potenzregel | \(f(x)=x^{n}\;\Rightarrow\;f'(x)=n\,x^{\,n-1}\) | gilt auch für negative und gebrochene \(n\) |
| Faktorregel | \(f(x)=k\cdot u(x)\;\Rightarrow\;f'(x)=k\cdot u'(x)\) | der Faktor bleibt stehen |
| Summenregel | \(f=u\pm v\;\Rightarrow\;f'=u'\pm v'\) | summandenweise ableiten |
| Konstante Funktion | \(f(x)=c\;\Rightarrow\;f'(x)=0\) | waagerechte Gerade, Steigung null |
| Lineare Funktion | \(f(x)=mx+b\;\Rightarrow\;f'(x)=m\) | überall dieselbe Steigung |
| Kehrwert | \(f(x)=\dfrac{1}{x}=x^{-1}\;\Rightarrow\;f'(x)=-\dfrac{1}{x^{2}}\) | Minuszeichen nicht vergessen |
| Wurzel | \(f(x)=\sqrt{x}=x^{\frac12}\;\Rightarrow\;f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) | erst als Potenz schreiben |
| Sinus | \(f(x)=\sin(x)\;\Rightarrow\;f'(x)=\cos(x)\) | nur im Bogenmaß |
| Kosinus | \(f(x)=\cos(x)\;\Rightarrow\;f'(x)=-\sin(x)\) | hier entsteht ein Minuszeichen |
| Tangente | \(g(x)=m\,x+b\) mit \(m=f'(x_0)\) | \(b\) aus dem Berührpunkt bestimmen |
| Normale | \(m_n=-\dfrac{1}{f'(x_0)}\) | senkrecht zur Tangente, \(m_t\cdot m_n=-1\) |
| Neigungswinkel | \(\tan\alpha=m\;\Rightarrow\;\alpha=\arctan(m)\) | Rechner auf Gradmaß stellen |
| NEW-Regel | \(E\to N\), \(W\to E\) | vom Graphen von \(f\) zum Graphen von \(f'\) |
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Die vier Standardaufgaben
Ablauf Schritt für Schritt
Vier Aufgabentypen decken fast alles ab, was in der Klausur vorkommt. Wer diese vier Abläufe im Kopf hat, findet immer einen Anfang.
Typ 1 — Durchschnittliche Änderungsrate auf \([a\,;\,b]\)
- \(f(a)\) und \(f(b)\) berechnen.
- In \(m=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\) einsetzen.
- Ergebnis als Sekantensteigung deuten — im Sachkontext mit Einheit.
Typ 2 — Ableitung an einer Stelle über die h-Methode
- \(\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\) aufstellen.
- Zähler ausmultiplizieren und zusammenfassen.
- \(h\) ausklammern und kürzen — erlaubt, weil \(h\neq 0\).
- \(h\to 0\) laufen lassen; der Restterm ist \(f'(x_0)\).
Typ 3 — Tangente an der Stelle \(x_0\)
- Ansatz \(g(x)=m\,x+b\) hinschreiben.
- \(f'(x)\) bilden und \(m=f'(x_0)\) berechnen.
- \(f(x_0)\) berechnen — das ist die \(y\)-Koordinate des Berührpunkts.
- Punkt und \(m\) einsetzen, nach \(b\) auflösen.
- Probe: \(g(x_0)=f(x_0)\) muss stimmen.
Typ 4 — Normale an der Stelle \(x_0\)
- Wie bei der Tangente \(m_t=f'(x_0)\) berechnen.
- \(m_n=-\dfrac{1}{m_t}\) bilden — negativer Kehrwert.
- Berührpunkt einsetzen und \(b\) bestimmen.
- Kontrolle: \(m_t\cdot m_n=-1\).
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Checkliste — wo stehe ich?
Neun Punkte zum ehrlichen Durchgehen
Geh die Punkte ehrlich durch. Klappe jeden Punkt erst auf, wenn du dir eine eigene Antwort überlegt hast — jeder geöffnete Punkt zählt oben in der Fortschrittsleiste mit.
1Ich kann den Unterschied zwischen durchschnittlicher und lokaler Änderungsrate erklären.
2Ich kann den Differenzenquotienten aufstellen und mit der h-Methode kürzen.
3Ich weiß, dass \(f'(x_0)\) eine Zahl und \(f'\) eine Funktion ist.
Selbstcheck & Wiederholung
\(f'(x_0)\) gehört zu genau einer Stelle. Erst wenn man \(x_0\) laufen lässt, entsteht die Ableitungsfunktion. Unsicher? → 3.2.1.
4Ich kann jede Potenz, Wurzel und jeden Bruchterm mit der Potenzregel ableiten.
Selbstcheck & Wiederholung
Zuerst als Potenz schreiben: \(\frac{1}{x}=x^{-1}\), \(\sqrt{x}=x^{1/2}\). Dann Exponent nach vorn und um eins verkleinern. Unsicher? → 3.4.2.
5Ich kann aus dem Graphen von \(f\) den Graphen von \(f'\) skizzieren.
6Ich kann eine Tangentengleichung in fünf Schritten aufstellen.
Selbstcheck & Wiederholung
Ansatz, \(m=f'(x_0)\), \(f(x_0)\), \(b\) bestimmen, Probe. Unsicher? → 3.5.1.
7Ich kann die Normale bestimmen und den negativen Kehrwert richtig bilden.
Selbstcheck & Wiederholung
\(m_n=-\frac{1}{m_t}\); die Kontrolle \(m_t\cdot m_n=-1\) deckt Vorzeichenfehler sofort auf. Unsicher? → 3.5.2.
8Ich kann Ableitungswerte im Sachkontext mit Einheit deuten.
Selbstcheck & Wiederholung
Die Einheit ist immer „Einheit von \(y\) pro Einheit von \(x\)“ — also etwa \(\mathrm{\frac{m}{s}}\), \(\mathrm{\frac{cm}{min}}\) oder Euro pro Stück.
9Ich kann \(\sin\) und \(\cos\) ableiten und weiß, warum das Bogenmaß nötig ist.
Selbstcheck & Wiederholung
\(\sin'=\cos\), \(\cos'=-\sin\) — im Gradmaß gilt das nicht. Unsicher? → 3.4.3.
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Nachschlagen
Direkt zum passenden Unterkapitel
Zum Nachschlagen — alle Unterkapitel des Kapitels auf einen Blick:
3.1.1Wiederholung: Geraden und Steigung3.1.2Durchschnittliche Änderungsrate3.1.3Lokale Änderungsrate3.2.1Ableitung3.2.2Grafisches Differenzieren3.2.3Die NEW-Regel3.3.1Beispiel3.3.2Die Ableitung von x²3.3.3Die Ableitung von 1/x3.4.1Summen- und Faktorregel3.4.2Zusammenfassung und Übung3.4.3Ableitung von Sinus und Cosinus3.5.1Tangentengleichung3.5.2Normalengleichung