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Kapitel 7.2

Die Ableitung von x²

Statt für jede Stelle neu zu rechnen, wird die Ableitung an einer beliebigen Stelle \(x_0\) bestimmt — mit dem Abstand \(h\), einer binomischen Formel und einem Kürzungsschritt.

1

Eine beliebige Stelle: der Abstand \(h\)

Statt an einer festen Zahl leitest du \(f(x)=x^{2}\) jetzt an einer beliebigen Stelle \(x_0\) ab. So entsteht eine Formel für jede Stelle.

  • Gesucht:\(f'(x_0)\) für \(f(x)=x^{2}\) – ohne Tabellen mit Sekantensteigungen.
  • Punkte:\(P\) liegt bei \(x_0\), \(Q\) bei \(x\).
  • Abstand:\(x=x_0+h\) – \(h\) ist die Strecke von \(x_0\) nach rechts.
  • Grenzübergang:Aus \(x\to x_0\) wird \(h\to 0\).
  • Nenner:\(x_0+h-x_0=h\) – nur noch ein Buchstabe, den du später kürzt.
Die beiden Stellen \(x_0\) und \(x_0+h\)
x y 1 2 3 2 4 6 8 f(x) = x² Sekante h f(x₀+h) − f(x₀) x₀ x₀ + h P Q
Das rote Steigungsdreieck gehört zur Sekante durch \(P\) und \(Q\). Die waagerechte Kathete ist genau \(h\), die senkrechte ist der Zuwachs \(f(x_0+h)-f(x_0)\).
Merke

Differenzenquotient mit \(h\): \(m=\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\)

Stell \(x_0\) und \(h\) ein und vergleiche die Sekante mit der Tangente.

h wird kleiner

Zieh \(Q\) mit der Maus über den Graphen oder benutze die beiden Schieberegler. Mit den Pfeiltasten veränderst du \(h\) in kleinen Schritten, mit der Eingabetaste springst du auf \(h=0{,}05\).

x y 1 2 3 2 4 6 8 f(x) = x² h Tangente in P Sekante durch P und Q P Q
Zähler f(x0+h) − f(x0)
3
Nenner h
1
Sekantensteigung m
3
Tangentensteigung 2x0
2
Bei h = 1 ist die Sekante noch deutlich steiler als die Tangente.

Die Sekantensteigung ist immer um genau \(h\) größer als die Tangentensteigung \(2x_0\).

2

Die Rechnung für \(f(x)=x^{2}\)

Der Zähler wird so weit vereinfacht, dass sich \(h\) kürzen lässt. Erst dann folgt der Grenzübergang \(h\to0\).

Herleitung:

  • Ansatz:\(f'(x_0)=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{(x_0+h)^{2}-x_0^{\,2}}{h}\).
  • Binomische Formel:\((x_0+h)^{2}=x_0^{\,2}+2x_0h+h^{2}\).
  • Vereinfachen:\(x_0^{\,2}\) hebt sich weg, es bleibt \(\dfrac{2x_0h+h^{2}}{h}=\dfrac{h\,(2x_0+h)}{h}\).
  • Kürzen:\(\lim\limits_{h\to 0}\,(2x_0+h)\).
  • Grenzwert:Für \(h\to0\) fällt \(h\) weg, es bleibt \(2x_0\).
Merke

Ableitung von \(x^{2}\): \(f(x)=x^{2} \;\Longrightarrow\; f'(x)=2x\)

  • Beispiel:\(f'(3)=6\); \(f'(-2)=-4\); \(f'(0)=0\).
  • Links vom Scheitel:Die Parabel fällt, \(f'(x)\) ist negativ.
  • Rechts vom Scheitel:Die Parabel steigt, \(f'(x)\) ist positiv.
  • Scheitel:Bei \(x=0\) ist die Tangente waagerecht, denn \(f'(0)=0\).
Wie groß ist der Anstieg an den Stellen \(-2\), \(0\) und \(2\)?
x y −2 −1 1 2 2 4 6 f(x) = x² f′(x) = 2x f′(−2) = −4 f′(2) = 4 f′(0) = 0
Die drei Tangenten gehören zu den Rechnungen \(f'(2)=2 \cdot 2 = 4\), \(f'(0)=2 \cdot 0 = 0\) und \(f'(-2)=2 \cdot (-2) = -4\).
3

Derselbe Weg für \(f(x)=x^{3}\)

Für \(f(x)=x^{3}\) ist der Rechenweg derselbe. Nur die binomische Formel ist eine andere.

  • Binomische Formel:\((x_0+h)^{3}=x_0^{\,3}+3x_0^{\,2}h+3x_0h^{2}+h^{3}\).
  • Ausklammern:Nach dem Wegfallen von \(x_0^{\,3}\) bleibt \(h\,(3x_0^{\,2}+3x_0h+h^{2})\).
  • Grenzwert:Nach dem Kürzen liefert \(h\to0\) den Wert \(3x_0^{\,2}\).

Deck die Rechnung Zeile für Zeile auf und überlege vorher, was als Nächstes passiert.

Die Rechnung Zeile für Zeile

Mit den Schaltflächen oder den Pfeiltasten deckst du die nächste Zeile auf; die Eingabetaste setzt alles zurück. Unter der Rechnung steht jeweils, was in diesem Schritt gemacht wurde.

Gegeben: f(x) = x³ — Gesucht: f′(x₀) f′(x₀) = lim x → x₀ f(x) − f(x₀) x − x₀ = lim h → 0 f(x₀+h) − f(x₀) x₀ + h − x₀ = lim h → 0 f(x₀+h) − f(x₀) h = lim h → 0 (x₀+h)³ − x₀³ h = lim h → 0 x₀³ + 3x₀²h + 3x₀h² + h³ − x₀³ h = lim h → 0 3x₀²h + 3x₀h² + h³ h = lim h → 0 h · (3x₀² + 3x₀h + h²) h = lim h → 0 3x₀² + 3x₀h + h² = 3x₀²
Aufgedeckte Zeilen
1 von 9
Stand der Rechnung
Differenzenquotient
Der Differenzenquotient in der x-Form: die Ableitung ist der Grenzwert der Sekantensteigungen.

Der Aufbau ist wie bei \(x^{2}\): umschreiben, ausmultiplizieren, \(h\) ausklammern, kürzen, Grenzübergang.

Merke

Ableitung von \(x^{3}\): \(f(x)=x^{3} \;\Longrightarrow\; f'(x)=3x^{2}\)

4

Vom Muster zur Potenzregel

Schreibst du die Ergebnisse untereinander, wird ein Muster sichtbar. Es gilt für jeden Exponenten.

Die Tabelle aus dem Unterricht: links die Funktion, rechts ihre Ableitung
f(x)f′(x)
x²2x
x³3x²
x⁴4x³
x⁵5x⁴
⋮⋮
xⁿn · xⁿ⁻¹
  • Erster Schritt:Den Exponenten als Faktor vor die Potenz schreiben.
  • Zweiter Schritt:Den Exponenten um eins verkleinern.
  • Beispiel:\(x^{4}\Rightarrow 4x^{3}\); \(x^{5}\Rightarrow 5x^{4}\).
  • Probe:Für \(n=2\) und \(n=3\) liefert die Regel \(2x\) und \(3x^{2}\).

Stell den Exponenten ein und vergleiche links den Graphen von \(f\) mit dem von \(f'\) rechts.

Exponent umstellen

Wähle den Exponenten \(n\) mit den Schaltflächen, dem Schieberegler oder den Pfeiltasten. Links steht der Graph von \(f\), rechts der Graph von \(f'\).

x y −2 −1 1 2 −4 −2 2 4 f x y −2 −1 1 2 −4 −2 2 4 f′
Funktion
f(x) = x²
Ableitung
f′(x) = 2x
Steigung an der Stelle 1
2
Für n = 2 ist die Ableitung die Gerade f′(x) = 2x. An der Stelle 1 beträgt die Steigung 2.

Die Ableitung hat immer einen Grad weniger als die Funktion selbst.

Merke

Potenzregel: \(f(x)=x^{n} \;\Longrightarrow\; f'(x)=n\cdot x^{\,n-1}\), \(n\in\mathbb{Q}^{*}\)

  • Gültigkeit:Die Regel gilt auch für negative und gebrochene Exponenten.
5

Allgemeine Hinweise

Erst kürzen

Setze \(h=0\) erst ein, wenn \(h\) nicht mehr im Nenner steht. Vorher wäre der Nenner null.

Binomische Formel

\((x_0+h)^{2}\) ist nicht \(x_0^{\,2}+h^{2}\). Der Mittelterm \(2x_0h\) trägt das Ergebnis.

Exponent nach vorn

Der Exponent wird Faktor und dann um eins kleiner. So leitest du jede Potenz in einer Zeile ab.

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