AFB II — Zusammenhänge herstellen
Hier wird verknüpft: mehrere Rechenschritte hintereinander, der Wechsel zwischen Graph und Term, Ableitung und Sachkontext. Die Aufgaben verlangen keine neuen Formeln, sondern das Zusammensetzen dessen, was du schon kennst — das ist der Anforderungsbereich II (Zusammenhänge herstellen). Fünf Aufgaben löst du interaktiv, fünf schriftlich mit anschließendem Abgleich.
Gegeben ist \(f(x)=0{,}5x^{2}-x\) und die Berührstelle \(x_0=4\).
Bestimmen Sie die Tangente \(g(x)=mx+b\) Schritt für Schritt.
- \(f(4)=\;?\)
- \(f'(x)=x-1\), also \(m=f'(4)=\;?\)
- Aus \(4=3\cdot 4+b\) folgt \(b=\;?\)
Gegeben ist \(f(x)=x^{2}\) und die Stelle \(x_0=1\).
Vereinfachen Sie den Differenzenquotienten \(\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}\) und bestimmen Sie daraus \(f'(1)\).
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Zähler ausrechnen: \(f(1+h)=(1+h)^{2}=1+2h+h^{2}\) und \(f(1)=1\), also \(f(1+h)-f(1)=2h+h^{2}\).
Bruch bilden und kürzen: \(\dfrac{2h+h^{2}}{h}=\dfrac{h\,(2+h)}{h}=2+h\) — erlaubt, weil \(h\neq 0\) ist.
Grenzübergang: \(f'(1)=\lim\limits_{h\to 0}(2+h)=2\).
Das Ergebnis passt zur Potenzregel: \(f'(x)=2x\) liefert an der Stelle \(1\) ebenfalls \(2\).
Gesucht war die Normale an \(f(x)=x^{2}-2x\) im Punkt \(P(3\mid 3)\). Zwei Zeilen sind falsch.
Finden Sie die beiden Fehler.
Der Graph einer Funktion \(f\) hat einen Hochpunkt bei \(x=-1\), einen Wendepunkt bei \(x=1\) und einen Tiefpunkt bei \(x=3\).
Beschreiben Sie mithilfe der NEW-Regel, wie der Graph von \(f'\) verläuft.
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Nullstellen von \(f'\): An den beiden Extremstellen \(x=-1\) und \(x=3\) verläuft die Tangente waagerecht, dort ist \(f'(x)=0\).
Vorzeichen: Links von \(-1\) steigt \(f\), also \(f'>0\) (Graph von \(f'\) oberhalb der \(x\)-Achse). Zwischen \(-1\) und \(3\) fällt \(f\), also \(f'<0\). Rechts von \(3\) steigt \(f\) wieder, also \(f'>0\).
Extrempunkt von \(f'\): Die Wendestelle \(x=1\) von \(f\) wird zur Extremstelle von \(f'\) — hier ein Tiefpunkt, weil \(f\) dort am stärksten fällt.
Merksatz: Beim Übergang zur Ableitung rutscht jeder Buchstabe eine Position nach links: aus \(E\) wird \(N\), aus \(W\) wird \(E\).
Sechs Paare aus Funktion und Stelle. Ordnen Sie jede Karte dem Vorzeichen von \(f'(x_0)\) zu.
Ein Zug fährt aus dem Stand an. Für den zurückgelegten Weg gilt näherungsweise \(s(t)=0{,}5\,t^{2}\) mit \(t\) in Sekunden und \(s\) in Metern.
Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit auf \([0\,;\,10]\) sowie die Momentangeschwindigkeit bei \(t=10\,\mathrm{s}\) und erklären Sie den Unterschied.
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Mittlere Geschwindigkeit: \(s(0)=0\), \(s(10)=0{,}5\cdot 100=50\). Also \(\bar v=\dfrac{50-0}{10-0}=5\;\mathrm{\dfrac{m}{s}}\).
Momentangeschwindigkeit: \(s'(t)=t\), also \(v(10)=s'(10)=10\;\mathrm{\dfrac{m}{s}}\).
Deutung: Der Zug beschleunigt gleichmäßig. Am Ende ist er doppelt so schnell wie im Durchschnitt — die mittlere Geschwindigkeit ist die Steigung der Sekante über die ganzen zehn Sekunden, die Momentangeschwindigkeit die Steigung der Tangente im Zeitpunkt \(t=10\).
Gegeben ist \(f(x)=x^{3}-3x\).
Bestimmen Sie den Ableitungswert an der Stelle \(2\), die beiden Stellen mit waagerechter Tangente und den zugehörigen Funktionswert an der rechten dieser Stellen.
Gegeben ist \(f(x)=0{,}25x^{2}\) und die Stelle \(x_0=4\).
Bestimmen Sie die Gleichung der Normalen an den Graphen von \(f\) an dieser Stelle.
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1. \(f'(x)=0{,}5x\), also \(m_t=f'(4)=2\).
2. \(m_n=-\dfrac{1}{2}=-0{,}5\).
3. \(f(4)=0{,}25\cdot 16=4\), also \(P(4\mid 4)\).
4. \(4=-0{,}5\cdot 4+b\Rightarrow b=4+2=6\).
5. \(n(x)=-0{,}5x+6\). Probe: \(n(4)=-2+6=4=f(4)\) ✓
Gegeben ist \(f(x)=x^{2}-6x\) mit dem Tiefpunkt bei \(x=3\).
Vervollständigen Sie die Tabelle — drei Spalten, die dasselbe in drei Sprachen sagen.
| Bereich | Verlauf von \(f\) | Vorzeichen von \(f'\) | Lage von \(G_{f'}\) |
|---|---|---|---|
| \(x<3\) | |||
| \(x=3\) | |||
| \(x>3\) |
Die Kosten eines Betriebs für \(x\) Stück betragen \(K(x)=0{,}01x^{2}+5x+200\) (Angaben in Euro).
Berechnen Sie die durchschnittliche Kostenänderung auf \([0\,;\,100]\) und die Grenzkosten \(K'(100)\). Deuten Sie beide Werte mit Einheit.
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Durchschnittlich: \(K(0)=200\) und \(K(100)=0{,}01\cdot 10000+500+200=800\). Damit \(\dfrac{800-200}{100-0}=6\), also \(6\;\mathrm{\dfrac{Euro}{St\ddot uck}}\).
Grenzkosten: \(K'(x)=0{,}02x+5\), also \(K'(100)=2+5=7\), also \(7\;\mathrm{\dfrac{Euro}{St\ddot uck}}\).
Deutung: Über die ersten hundert Stück kostete jedes Stück im Mittel \(6\) Euro zusätzlich. Das nächste Stück nach dem hundertsten kostet dagegen rund \(7\) Euro — die Produktion wird mit wachsender Menge teurer. Der Fixkostenanteil von \(200\) Euro spielt für beide Änderungsraten keine Rolle, weil er sich beim Bilden der Differenz beziehungsweise beim Ableiten heraushebt.