AFB III — Verallgemeinern und Reflektieren
Jetzt wird gedreht und begründet: Statt eines vorgegebenen Rechenwegs steht am Anfang oft nur das Ergebnis, ein Parameter oder eine Behauptung. Solche Aufgaben verlangen einen eigenen Ansatz und eine Erklärung in Worten — das ist der Anforderungsbereich III (Verallgemeinern und Reflektieren). Lass dir Zeit; wer hier weiterkommt, ist für die Klausur bereit.
Fünf behauptete Ableitungen. Prüfen Sie jede Zeile und korrigieren Sie die falschen.
-1/x^2, Winkelfunktionen als cos(x).Zeigen Sie mit der h-Methode, dass für \(f(x)=x^{2}\) an jeder Stelle \(x_0\) gilt: \(f'(x_0)=2x_0\). Begründen Sie dabei, warum durch \(h\) gekürzt werden darf, obwohl \(h\) anschließend gegen null geht.
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Differenzenquotient aufstellen: \(\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\dfrac{(x_0+h)^{2}-x_0^{2}}{h}\).
Zähler ausmultiplizieren: \((x_0+h)^{2}-x_0^{2}=x_0^{2}+2x_0h+h^{2}-x_0^{2}=2x_0h+h^{2}\).
Ausklammern und kürzen: \(\dfrac{h\,(2x_0+h)}{h}=2x_0+h\).
Grenzübergang: \(f'(x_0)=\lim\limits_{h\to 0}(2x_0+h)=2x_0\).
Zur Begründung: Beim Kürzen ist \(h\) noch eine von null verschiedene Zahl — die beiden Punkte müssen ja verschieden sein, sonst gäbe es keine Sekante. Erst danach betrachtet man, wohin der Term \(2x_0+h\) strebt, wenn \(h\) beliebig klein wird. Man setzt \(h=0\) also nie in den Bruch ein, sondern nur in den bereits gekürzten Term. Genau das ist der Unterschied zwischen „einsetzen“ und „Grenzwert bilden“.
Gegeben ist \(f(x)=0{,}25x^{2}\) und die Stelle \(x_0=-1\).
Berechnen Sie zuerst \(f'(-1)\) und durchlaufen Sie dann den Baum, bis das passende Ergebnis erreicht ist.
Gegeben ist die Funktionenschar \(f_a(x)=x^{2}+a\,x\) mit \(a\in\mathbb{R}\).
a) Bestimmen Sie \(a\) so, dass der Graph an der Stelle \(x=2\) die Steigung \(1\) hat.
b) Bestimmen Sie \(a\) so, dass der Graph an der Stelle \(x=2\) eine waagerechte Tangente hat.
c) Begründen Sie, warum es zu jeder vorgegebenen Steigung genau ein passendes \(a\) gibt.
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Ableitung: \(f_a'(x)=2x+a\), also \(f_a'(2)=4+a\).
a) \(4+a=1\Rightarrow a=-3\). Probe: \(f_{-3}'(x)=2x-3\), und \(f_{-3}'(2)=1\) ✓
b) \(4+a=0\Rightarrow a=-4\).
c) Die Gleichung \(4+a=m\) ist linear in \(a\) und hat für jedes \(m\) genau eine Lösung \(a=m-4\). Anschaulich: Der Parameter \(a\) verschiebt die Ableitungsgerade \(f_a'(x)=2x+a\) nur nach oben oder unten, ohne ihre Steigung zu ändern — jeder Höhenwert wird dabei genau einmal getroffen.
Sieben Aussagen über die Ableitung an einer Stelle. Wählen Sie alle richtigen aus.
Gegeben ist \(f(x)=x^{2}\) und der Punkt \(Q(0\mid -4)\), der nicht auf dem Graphen liegt.
Bestimmen Sie alle Tangenten an den Graphen von \(f\), die durch \(Q\) verlaufen.
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Ansatz: Die Berührstelle sei \(u\) (unbekannt). Dann hat die Tangente die Steigung \(m=f'(u)=2u\) und geht durch \(B(u\mid u^{2})\):
\(u^{2}=2u\cdot u+b\;\Rightarrow\;b=u^{2}-2u^{2}=-u^{2}\), also \(t(x)=2u\,x-u^{2}\).
Bedingung „durch \(Q\)“: \(t(0)=-4\), also \(-u^{2}=-4\Rightarrow u^{2}=4\) und damit \(u_1=2\), \(u_2=-2\).
Ergebnis: \(t_1(x)=4x-4\) (Berührpunkt \(B_1(2\mid 4)\)) und \(t_2(x)=-4x-4\) (Berührpunkt \(B_2(-2\mid 4)\)).
Warum zwei Lösungen? Von einem Punkt unterhalb der Parabel aus sieht man sie von außen — links und rechts legt sich je eine Tangente an. Läge \(Q\) innerhalb der Parabel, gäbe es keine.
Gegeben ist \(f(x)=\dfrac{2}{x}\) für \(x\neq 0\).
Geben Sie \(f'(x)\) an. Schreiben Sie den Term dafür zuerst als Potenz.
-2/x^2. Potenzen mit ^, Brüche mit /. Enter prüft.Betrachtet wird die Betragsfunktion \(f(x)=|x|\) an der Stelle \(x_0=0\).
Untersuchen Sie, ob \(f'(0)\) existiert. Erklären Sie Ihr Ergebnis mithilfe des Differenzenquotienten und anschaulich am Graphen.
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Differenzenquotient an der Stelle 0: \(\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}=\dfrac{|h|}{h}\).
Für \(h>0\) ist \(|h|=h\), der Bruch hat also den Wert \(+1\). Für \(h<0\) ist \(|h|=-h\), der Bruch hat den Wert \(-1\).
Folgerung: Nähert man sich von rechts, strebt der Differenzenquotient gegen \(+1\), von links gegen \(-1\). Es gibt keinen gemeinsamen Grenzwert, also existiert \(f'(0)\) nicht — die Funktion ist an dieser Stelle nicht differenzierbar.
Anschaulich: Der Graph hat bei \(x=0\) einen Knick. Eine Tangente müsste dort gleichzeitig die Steigung der linken und der rechten Halbgeraden haben — das geht nicht. Differenzierbarkeit bedeutet anschaulich: Der Graph ist „glatt“ und besitzt an jeder Stelle genau eine Tangente.
Fünf Funktionsterme und fünf Ableitungsterme. Ordnen Sie jedem Term seine Ableitung zu.
In einem Becken gilt für die Füllhöhe näherungsweise \(h(t)=-0{,}05\,t^{2}+2\,t\) mit \(t\) in Minuten (\(0\le t\le 20\)) und \(h\) in Zentimetern.
a) Berechnen Sie die momentane Änderungsrate bei \(t=5\) und deuten Sie sie mit Einheit.
b) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem der Zufluss zum Erliegen kommt, und die zugehörige Füllhöhe.
c) Beurteilen Sie, ob das Modell auch für \(t=30\) sinnvoll ist.
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Ableitung: \(h'(t)=-0{,}1\,t+2\).
a) \(h'(5)=-0{,}5+2=1{,}5\). Zum Zeitpunkt \(t=5\,\mathrm{min}\) steigt der Wasserstand also um \(1{,}5\;\mathrm{\dfrac{cm}{min}}\).
b) \(h'(t)=0\Rightarrow -0{,}1t+2=0\Rightarrow t=20\). Nach \(20\) Minuten fließt nichts mehr nach; die Füllhöhe beträgt dann \(h(20)=-0{,}05\cdot 400+40=-20+40=20\;\mathrm{cm}\).
c) Nein. Für \(t=30\) liefert das Modell \(h'(30)=-1\), also ein Sinken des Wasserstands um \(1\;\mathrm{\frac{cm}{min}}\) — das Becken würde von selbst leerlaufen, obwohl nur Zufluss modelliert wurde. Deshalb ist der Gültigkeitsbereich mit \(0\le t\le 20\) angegeben; außerhalb davon beschreibt die Parabel die Wirklichkeit nicht mehr.