Typische Fehler

Nein. Die durchschnittliche Änderungsrate gehört zu einem ganzen Intervall \([a\,;\,b]\) und ist die Steigung der Sekante. Die lokale Änderungsrate gehört zu einer Stelle \(x_0\) und ist die Steigung der Tangente. Beispiel: Für \(f(x)=x^{2}\) auf \([0\,;\,2]\) ist die durchschnittliche Rate \(2\), die lokale bei \(x_0=2\) dagegen \(f'(2)=4\).

Oben und unten muss dieselbe Reihenfolge stehen. Vertauscht man nur den Nenner, dreht sich das Vorzeichen um — aus einer steigenden wird rechnerisch eine fallende Sekante. Erlaubt ist dagegen, oben und unten gleichzeitig zu tauschen: \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{f(a)-f(b)}{a-b}\).

Verwechselt werden Funktionswert und Steigung. \(m<0\) bedeutet nur, dass der Graph auf dem Intervall fällt — er kann dabei weit oberhalb der \(x\)-Achse verlaufen. Beispiel: \(f(x)=100-x\) hat überall \(m=-1\), liegt aber für kleine \(x\) hoch über der Achse.

Entscheidend ist nicht der Wert, sondern die Differenz geteilt durch die Intervalllänge. Eine konstante Funktion \(f(x)=1000\) hat riesige Funktionswerte und trotzdem überall die Änderungsrate \(0\).

Dann stünde im Nenner eine Null — der Bruch wäre nicht definiert. Der richtige Weg: erst ausmultiplizieren, \(h\) ausklammern und kürzen (das ist erlaubt, weil \(h\neq 0\) ist), und danach \(h\to 0\) laufen lassen. Aus \(\frac{2x_0h+h^{2}}{h}=2x_0+h\) wird so \(f'(x_0)=2x_0\).

\(f'(x_0)\) ist eine einzelne Zahl — die Steigung an genau einer Stelle. Erst wenn man \(x_0\) durch ein laufendes \(x\) ersetzt, entsteht die Ableitungsfunktion \(f'\). Verhältnis wie zwischen \(f(2)\) (eine Zahl) und \(f\) (eine Funktion).

Verwechselt werden die Graphen von \(f\) und \(f'\). \(f'(x_0)=0\) bedeutet: Der Graph von \(f\) hat dort eine waagerechte Tangente — typischerweise einen Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt. Beispiel: \(f(x)=x^{2}+5\) hat bei \(x=0\) die Ableitung \(0\), liegt dort aber bei \(y=5\).

Nicht überall. Bei \(f(x)=|x|\) und \(x_0=0\) liefert der Differenzenquotient von rechts den Wert \(+1\), von links \(-1\) — es gibt keinen gemeinsamen Grenzwert. An einem Knick existiert keine eindeutige Tangente, also auch keine Ableitung.

Eine additive Konstante verschwindet: \(f'(x)=3x^{2}\). Anschaulich verschiebt die \(+4\) den Graphen nur nach oben — die Steilheit ändert sich dadurch an keiner Stelle. Nicht zu verwechseln mit einem Faktor: Bei \(f(x)=4x^{3}\) bleibt die \(4\) sehr wohl stehen.

Es gibt keine Regel „Ableitung des Produkts = Produkt der Ableitungen“. Hier hilft Umschreiben: \(f(x)=x\cdot x^{2}=x^{3}\), also \(f'(x)=3x^{2}\) — und nicht \(2x\). In diesem Halbjahr gilt: zuerst vereinfachen, dann ableiten.

Als Potenz geschrieben ist \(f(x)=x^{-1}\); die Potenzregel liefert \(f'(x)=-1\cdot x^{-2}=-\dfrac{1}{x^{2}}\). Das Minuszeichen gehört dazu — und passt zur Anschauung: Beide Äste der Hyperbel fallen, die Steigung ist überall negativ.

Richtig ist \(\cos'(x)=-\sin(x)\); nur beim Sinus gilt \(\sin'(x)=\cos(x)\) ohne Vorzeichenwechsel. Kontrolle am Graphen: Bei \(x=0\) hat der Kosinus einen Hochpunkt, seine Ableitung muss dort also \(0\) sein — und kurz danach negativ, weil der Kosinus fällt. Genau das leistet \(-\sin\).

Doch — man muss die Wurzel nur als Potenz schreiben: \(\sqrt{x}=x^{\frac12}\). Dann greift die gewöhnliche Potenzregel: \(f'(x)=\tfrac12 x^{-\frac12}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\). Dasselbe Vorgehen funktioniert bei allen Brüchen und Wurzeln.

Die NEW-Regel sagt etwas anderes: Nullstellen von \(f'\) liegen an den Extremstellen von \(f\), nicht an dessen Nullstellen. Beispiel: \(f(x)=x^{2}-4\) hat Nullstellen bei \(\pm 2\), \(f'(x)=2x\) dagegen bei \(0\).

Ableiten ändert die Form. Aus einer Parabel wird eine Gerade, aus einer Gerade eine waagerechte Gerade — der Grad sinkt bei ganzrationalen Funktionen jedes Mal um eins. Verschieben ändert dagegen gar nichts an der Ableitung: \(f(x)=x^{2}\) und \(g(x)=x^{2}+7\) haben dieselbe Ableitung.

Beim Übergang zur Ableitung rutscht jeder Buchstabe eine Position nach links: aus \(E\) wird \(N\), aus \(W\) wird \(E\). Ein Hochpunkt von \(f\) wird also zu einer Nullstelle von \(f'\) (mit Vorzeichenwechsel von \(+\) nach \(-\)); Hoch- und Tiefpunkte von \(f'\) liegen an den Wendestellen von \(f\).

Die Lage von \(f\) und das Vorzeichen von \(f'\) haben nichts miteinander zu tun. Entscheidend ist, ob \(f\) steigt oder fällt. Beispiel: \(f(x)=x^{2}+10\) ist überall positiv, aber für \(x<0\) ist \(f'(x)=2x<0\).

Gebraucht wird die Ableitung, nicht der Funktionswert: \(m=f'(x_0)\). Der Funktionswert \(f(x_0)\) wird zwar auch gebraucht — aber als \(y\)-Koordinate des Berührpunkts, nicht als Steigung. Dieser Fehler ist der häufigste in der ganzen Klausur.

Eingesetzt wird \(x=1\) und \(y=4\), also \(4=m\cdot 1+b\). Merkhilfe: In \(P(x\mid y)\) steht die \(x\)-Koordinate vorn — sie kommt in die Gleichung hinein, die \(y\)-Koordinate ist das Ergebnis. Die Probe \(g(x_0)=f(x_0)\) deckt diesen Fehler sofort auf.

Es ist der negative Kehrwert: \(m_n=-\dfrac{1}{m_t}=-\dfrac{1}{4}\). Die schnelle Kontrolle lautet \(m_t\cdot m_n=-1\); mit \(+\frac14\) käme \(+1\) heraus. Nur bei \(m_t=0\) versagt die Formel — dann ist die Tangente waagerecht und die Normale senkrecht, hat also gar keine Steigung.

Tangente heißt nur: an der Berührstelle hat die Gerade denselben Punkt und dieselbe Steigung wie der Graph. Was weiter weg passiert, ist egal. Bei \(f(x)=x^{3}\) schneidet die Tangente im Punkt \((1\mid 1)\) den Graphen an einer zweiten Stelle — sie bleibt trotzdem die Tangente.

Die Steigung ist der Tangens des Neigungswinkels: \(\tan\alpha=m\), also \(\alpha=\arctan(m)\). Für \(m=1\) ergibt das \(45^{\circ}\), nicht \(1^{\circ}\). Der Rechner muss dabei auf Gradmaß stehen.