Diese Probeklausur entspricht in Umfang und Anspruch einer Klausur der Einführungsphase. Bearbeite sie am Stück auf Papier mit Taschenrechner und Formelsammlung. Öffne den Erwartungshorizont erst nach Ablauf der Zeit – Hinweise gibt es hier bewusst keine. Rechenwege, Ansätze und Deutungen im Sachzusammenhang gehören zur Lösung.
Ableitungsregeln
5 BEAFB IDie folgenden fünf Funktionen sind jeweils auf ihrem maximalen Definitionsbereich gegeben.
- Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion von \(f(x)=3x^{4}-2x^{2}+7\). 1 BE
- Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion von \(g(x)=\tfrac14 x^{3}-5x+1\). 1 BE
- Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion von \(h(x)=\dfrac{2}{x}\). 1 BE
- Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion von \(k(x)=3\sin(x)-\cos(x)\). 1 BE
- Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion von \(m(x)=x\,(x-6)\). 1 BE
Erwartungshorizont zu Aufgabe a) 1 BE
Potenz-, Faktor- und Summenregel: \(f'(x)=12x^{3}-4x\). Die Konstante 7 fällt beim Ableiten weg.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b) 1 BE
\(g'(x)=\tfrac14\cdot 3x^{2}-5=\tfrac34 x^{2}-5\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c) 1 BE
Umschreiben als Potenz: \(h(x)=2x^{-1}\). Damit \(h'(x)=2\cdot(-1)\,x^{-2}=-\dfrac{2}{x^{2}}\) (für \(x\neq 0\)).
Erwartungshorizont zu Aufgabe d) 1 BE
Mit \(\sin'=\cos\) und \(\cos'=-\sin\): \(k'(x)=3\cos(x)+\sin(x)\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe e) 1 BE
Erst ausmultiplizieren: \(m(x)=x^{2}-6x\). Dann \(m'(x)=2x-6\). Das Produkt darf nicht faktorweise abgeleitet werden.
Ableitung mit der h-Methode
4 BEAFB IIGegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x)=x^{2}-3x\).
- Bestimmen Sie \(f'(2)\) mit der h-Methode, also ausschließlich über den Grenzwert des Differenzenquotienten. Die Ableitungsregeln dürfen nur zur Kontrolle verwendet werden. 3 BE
- Deuten Sie das Ergebnis geometrisch. 1 BE
Erwartungshorizont zu Aufgabe a) 3 BE
Differenzenquotient an der Stelle 2: \(\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}\).
\(f(2+h)=(2+h)^{2}-3(2+h)=4+4h+h^{2}-6-3h=h^{2}+h-2\) und \(f(2)=4-6=-2\).
\(\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}=\dfrac{h^{2}+h-2-(-2)}{h}=\dfrac{h^{2}+h}{h}=h+1\).
Grenzwert: \(f'(2)=\lim\limits_{h\to 0}(h+1)=1\). Kontrolle: \(f'(x)=2x-3\), also \(f'(2)=1\). ✓
Erwartungshorizont zu Aufgabe b) 1 BE
Die Tangente an den Graphen von \(f\) im Punkt \(P(2\mid -2)\) hat die Steigung 1, sie steigt also unter \(45^\circ\) an. Der Graph verläuft an dieser Stelle steigend.
Vom Graphen zur Ableitung
6 BEAFB IIIMaterial M1 zeigt den Graphen einer Funktion \(f\). Die Funktionsgleichung ist nicht bekannt; alle Aussagen sollen aus dem Graphen gewonnen werden.
- Geben Sie alle Stellen \(x\) mit \(f'(x)=0\) an und nennen Sie das Vorzeichen von \(f'\) im Intervall \(]-1;\,1[\). 2 BE
- Skizzieren Sie den Graphen der Ableitungsfunktion \(f'\) in ein eigenes Koordinatensystem. Die Steigung im Punkt \((0\mid 0)\) beträgt \(-3\). 2 BE
- Begründen Sie, dass es keine Stelle \(x\) gibt, an der der Graph von \(f\) die Steigung \(-4\) hat. 2 BE
Erwartungshorizont zu Aufgabe a) 2 BE
\(f'(x)=0\) genau an den Stellen mit waagerechter Tangente, also in den Extrempunkten: \(x=-1\) und \(x=1\).
Zwischen Hoch- und Tiefpunkt fällt der Graph, also ist \(f'(x)<0\) für \(-1<x<1\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b) 2 BE
Wesentliche Merkmale der Skizze: Nullstellen von \(f'\) bei \(x=-1\) und \(x=1\); \(f'\) positiv außerhalb dieses Intervalls (dort steigt \(f\)), negativ dazwischen; tiefster Punkt bei \((0\mid -3)\), da dort die Steigung von \(f\) am stärksten negativ ist; der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Insgesamt ergibt sich eine nach oben geöffnete Parabel.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c) 2 BE
Der Graph von \(f\) fällt nur im Intervall \(]-1;\,1[\), und dort ist die Steigung an der Stelle \(x=0\) am stärksten negativ, denn dort hat der Graph den Übergang von Rechts- zu Linkskrümmung (Wendestelle). Der kleinste Wert der Ableitung ist also \(f'(0)=-3\).
Da \(-4<-3\) ist, kann \(f'\) den Wert \(-4\) nirgends annehmen: Die Ableitungsfunktion nimmt keine Werte kleiner als \(-3\) an.
Regenrückhaltebecken
13 BEAFB IIBei einem Starkregen läuft ein Rückhaltebecken voll. Das im Becken befindliche Wasservolumen kann für \(0 \le t \le 8\) durch die Funktion \(V\) mit
\(V(t)=-0{,}1t^{3}+1{,}2t^{2}\)
beschrieben werden. Dabei ist \(t\) die Zeit in Stunden seit Beginn des Regens und \(V(t)\) das Volumen in \(1000\,\mathrm{m^{3}}\) (Material M1).
- Berechnen Sie \(V(2)\) und \(V(6)\) sowie die durchschnittliche Änderungsrate von \(V\) im Intervall \([2;\,6]\). Deuten Sie die durchschnittliche Änderungsrate im Sachzusammenhang und erläutern Sie, wie sie in Material M1 zu erkennen ist. 4 BE
- Bestimmen Sie \(V'(t)\) und berechnen Sie den momentanen Zufluss zu den Zeitpunkten \(t=2\) und \(t=6\). Vergleichen Sie die beiden Werte mit dem Ergebnis aus a). 4 BE
- Ermitteln Sie rechnerisch den Zeitpunkt, zu dem das Wasser am stärksten zufließt, und geben Sie den Zufluss zu diesem Zeitpunkt an. 3 BE
- Zeigen Sie, dass das Becken im gesamten Zeitraum zu keinem Zeitpunkt Wasser verliert. 2 BE
Erwartungshorizont zu Aufgabe a) 4 BE
\(V(2)=-0{,}1\cdot 8+1{,}2\cdot 4=-0{,}8+4{,}8=4{,}0\) und \(V(6)=-0{,}1\cdot 216+1{,}2\cdot 36=-21{,}6+43{,}2=21{,}6\).
Durchschnittliche Änderungsrate: \(\dfrac{V(6)-V(2)}{6-2}=\dfrac{21{,}6-4{,}0}{4}=\dfrac{17{,}6}{4}=4{,}4\).
Deutung: Zwischen der 2. und der 6. Stunde nimmt das Wasservolumen im Mittel um \(4{,}4\cdot 1000\,\mathrm{m^{3}}=4400\,\mathrm{m^{3}}\) pro Stunde zu. Im Material M1 ist dieser Wert die Steigung der Sekante durch die Punkte \(A(2\mid 4)\) und \(B(6\mid 21{,}6)\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b) 4 BE
\(V'(t)=-0{,}3t^{2}+2{,}4t\).
\(V'(2)=-0{,}3\cdot 4+2{,}4\cdot 2=-1{,}2+4{,}8=3{,}6\) und \(V'(6)=-0{,}3\cdot 36+2{,}4\cdot 6=-10{,}8+14{,}4=3{,}6\).
Zu beiden Zeitpunkten fließen momentan \(3600\,\mathrm{m^{3}}\) pro Stunde zu, obwohl der Durchschnitt im Intervall mit \(4400\,\mathrm{m^{3}/h}\) höher liegt. Das ist kein Widerspruch: An den Rändern des Intervalls ist der Zufluss geringer, dazwischen (um \(t=4\)) deutlich stärker – die Sekante ist steiler als die Tangenten in \(A\) und \(B\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c) 3 BE
Gesucht ist das Maximum von \(V'(t)=-0{,}3t^{2}+2{,}4t\). Der Graph von \(V'\) ist eine nach unten geöffnete Parabel mit den Nullstellen \(t=0\) und \(t=8\) (denn \(V'(t)=-0{,}3t\,(t-8)\)). Der Scheitel liegt aus Symmetriegründen in der Mitte: \(t=4\).
Alternativ mit der Scheitelpunktsformel \(t_S=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{2{,}4}{2\cdot(-0{,}3)}=4\).
Zufluss dann: \(V'(4)=-0{,}3\cdot 16+2{,}4\cdot 4=-4{,}8+9{,}6=4{,}8\), also \(4800\,\mathrm{m^{3}}\) pro Stunde – 4 Stunden nach Regenbeginn.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d) 2 BE
Das Becken verliert Wasser, wenn das Volumen abnimmt, also wenn \(V'(t)<0\) ist. Es gilt \(V'(t)=-0{,}3t\,(t-8)=0{,}3t\,(8-t)\).
Für \(0\le t\le 8\) sind beide Faktoren \(t\ge 0\) und \(8-t\ge 0\), also \(V'(t)\ge 0\). Die Änderungsrate ist im gesamten Zeitraum nie negativ, das Volumen nimmt nirgends ab. Nur zu Beginn (\(t=0\)) und am Ende (\(t=8\)) ist der Zufluss momentan null.
Solarrinne
12 BEAFB IIIEin Parabolrinnen-Kollektor bündelt Sonnenlicht. Der Querschnitt seiner Spiegelfläche wird für \(-3\le x\le 3\) durch die Funktion \(f\) mit \(f(x)=0{,}25x^{2}\) beschrieben (\(x\), \(y\) in Dezimetern, Material M1). Im Punkt \(P(1\mid 0{,}25)\) trifft ein senkrecht von oben einfallender Sonnenstrahl auf den Spiegel. Unterhalb des Spiegels sitzt im Punkt \(Q(0\mid -1)\) ein Sensor.
- Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente \(t\) an den Graphen von \(f\) im Punkt \(P\). 3 BE
- Bestimmen Sie die Gleichung der Normalen \(n\) in \(P\). Die Normale gibt die Richtung an, in der der Spiegel in \(P\) „nach oben zeigt“. 2 BE
- Zeigen Sie allgemein: Für jeden Punkt \(B(a\mid 0{,}25a^{2})\) mit \(a\neq 0\) schneidet die Normale in \(B\) die \(y\)-Achse im Punkt \(S_a(0\mid 0{,}25a^{2}+2)\). 3 BE
- Vom Sensor in \(Q\) aus sollen zwei Sichtlinien so verlaufen, dass sie den Spiegel gerade noch berühren. Ermitteln Sie die Gleichungen beider Tangenten an den Graphen von \(f\), die durch den Punkt \(Q(0\mid -1)\) verlaufen, sowie die zugehörigen Berührpunkte. 4 BE
Erwartungshorizont zu Aufgabe a) 3 BE
\(f'(x)=0{,}5x\), also \(f'(1)=0{,}5\); außerdem \(f(1)=0{,}25\).
Tangente: \(t(x)=f'(1)\,(x-1)+f(1)=0{,}5(x-1)+0{,}25=0{,}5x-0{,}25\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b) 2 BE
Steigung der Normalen: \(m_n=-\dfrac{1}{f'(1)}=-\dfrac{1}{0{,}5}=-2\).
\(n(x)=-2(x-1)+0{,}25=-2x+2{,}25\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c) 3 BE
In \(B\) gilt \(f'(a)=0{,}5a\), also \(m_n=-\dfrac{1}{0{,}5a}=-\dfrac{2}{a}\) (für \(a\neq 0\)).
Normale: \(n_a(x)=-\dfrac{2}{a}\,(x-a)+0{,}25a^{2}=-\dfrac{2}{a}\,x+2+0{,}25a^{2}\).
Schnitt mit der \(y\)-Achse: \(n_a(0)=0{,}25a^{2}+2\). Der Schnittpunkt ist also \(S_a(0\mid 0{,}25a^{2}+2)\), er liegt stets genau 2 Einheiten über dem Berührpunkt. ✓
Erwartungshorizont zu Aufgabe d) 4 BE
Ansatz: Tangente im unbekannten Berührpunkt \(B(a\mid 0{,}25a^{2})\): \(t_a(x)=0{,}5a\,(x-a)+0{,}25a^{2}=0{,}5a\,x-0{,}25a^{2}\).
Bedingung „geht durch \(Q(0\mid -1)\)“: \(t_a(0)=-1\), also \(-0{,}25a^{2}=-1 \Leftrightarrow a^{2}=4 \Leftrightarrow a=2\) oder \(a=-2\).
Für \(a=2\): \(t_1(x)=x-1\) mit Berührpunkt \(B_1(2\mid 1)\). Für \(a=-2\): \(t_2(x)=-x-1\) mit Berührpunkt \(B_2(-2\mid 1)\).
Kontrolle: \(t_1(0)=-1=t_2(0)\) ✓ und \(f(\pm 2)=1\) ✓.
Federpendel
5 BEAFB IIEine an einer Feder hängende Kugel wird um 5 cm nach oben ausgelenkt und losgelassen. Ihre Auslenkung aus der Ruhelage wird durch \(s(t)=5\cos(t)\) beschrieben (\(t\) in Sekunden, \(s\) in Zentimetern; Material M1). Positive Werte bedeuten „oberhalb der Ruhelage“.
- Bestimmen Sie die Geschwindigkeitsfunktion \(v(t)=s'(t)\) und berechnen Sie die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t=\tfrac{\pi}{2}\). Deuten Sie das Vorzeichen. 2 BE
- Berechnen Sie die durchschnittliche Geschwindigkeit im Zeitraum \([0;\,\tfrac{\pi}{2}]\) und beurteilen Sie die Aussage: „Im ersten Viertel der Schwingung ist die Kugel im Durchschnitt genauso schnell wie beim Durchgang durch die Ruhelage.“ 3 BE
Erwartungshorizont zu Aufgabe a) 2 BE
\(v(t)=s'(t)=-5\sin(t)\).
\(v\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=-5\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=-5\), also \(-5\,\mathrm{cm/s}\).
Das negative Vorzeichen bedeutet: Die Kugel bewegt sich in diesem Moment nach unten (die Auslenkung nimmt ab). Sie durchläuft gerade die Ruhelage, denn \(s(\tfrac{\pi}{2})=0\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b) 3 BE
Durchschnittliche Geschwindigkeit: \(\bar v=\dfrac{s(\tfrac{\pi}{2})-s(0)}{\tfrac{\pi}{2}-0}=\dfrac{0-5}{\tfrac{\pi}{2}}=-\dfrac{10}{\pi}\approx -3{,}18\,\mathrm{cm/s}\).
Beurteilung: Die Aussage ist falsch. Beim Durchgang durch die Ruhelage beträgt der Betrag der momentanen Geschwindigkeit \(5\,\mathrm{cm/s}\), im Durchschnitt des ersten Viertels aber nur etwa \(3{,}2\,\mathrm{cm/s}\). Grund: Die Kugel startet aus der Ruhe (\(v(0)=0\)) und wird erst nach und nach schneller; der Wert \(5\,\mathrm{cm/s}\) ist der Höchstwert, der nur im Moment des Nulldurchgangs erreicht wird. Der Durchschnitt liegt daher zwangsläufig darunter.
Selbstbewertung
Vergleiche deine Lösungen mit dem Erwartungshorizont und trage die erreichten Bewertungseinheiten ein. Die Notenpunkte werden nach dem üblichen Schlüssel der gymnasialen Oberstufe berechnet (15 Punkte ab 95 %).
| Aufgabe | Thema | AFB | BE | erreicht |
|---|---|---|---|---|
| A1 | Ableitungsregeln | I | 5 | |
| A2 | h-Methode | II | 4 | |
| A3 | Vom Graphen zur Ableitung | III | 6 | |
| A4 | Regenrückhaltebecken | II | 13 | |
| A5 | Solarrinne | III | 12 | |
| A6 | Federpendel | II | 5 | |
| Gesamt | 45 | – | ||