AFB I — Reproduzieren
Diese zehn Aufgaben sichern das Handwerk des Kapitels: Begriffe sauber benennen, den Differenzenquotienten aufstellen, mit der Potenzregel ableiten und eine Tangente aufstellen. Jede Aufgabe ist in ein bis zwei Schritten lösbar — das entspricht dem Anforderungsbereich I (Reproduzieren) im Abitur. Fünf Aufgaben löst du direkt am Bildschirm, fünf rechnest du auf Papier und vergleichst danach mit der Musterlösung. Jede gelöste Aufgabe zählt oben in der Fortschrittsleiste mit.
Sechs Fachbegriffe fehlen im Text. Setzen Sie die passenden Wörter ein — drei bleiben übrig.
Die Gerade durch die beiden Punkte \(P(a\mid f(a))\) und \(Q(b\mid f(b))\) des Graphen heißt . Ihre Steigung berechnet man mit dem Bruch \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\); dieser Bruch trägt den Namen . Lässt man den Punkt \(Q\) immer näher an \(P\) heranrücken, so entsteht als Grenzlage die . Ihre Steigung ist die von \(f\) an der Stelle \(x_0\); man nennt diese Zahl auch die von \(f\) an dieser Stelle. Damit sie überhaupt existiert, muss der des Differenzenquotienten für \(x\to x_0\) existieren.
Gegeben ist \(f(x)=x^{2}+1\).
Berechnen Sie die durchschnittliche Änderungsrate von \(f\) auf dem Intervall \([1\,;\,4]\) und geben Sie an, was der Wert geometrisch bedeutet.
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Zuerst die beiden Funktionswerte: \(f(1)=1^{2}+1=2\) und \(f(4)=4^{2}+1=17\).
Dann der Differenzenquotient: \(m=\dfrac{f(4)-f(1)}{4-1}=\dfrac{17-2}{3}=\dfrac{15}{3}=5\).
Bedeutung: \(m=5\) ist die Steigung der Sekante durch \(P(1\mid 2)\) und \(Q(4\mid 17)\). Im Mittel wächst der Funktionswert auf diesem Intervall also um \(5\) Einheiten, wenn \(x\) um eine Einheit zunimmt.
Gegeben ist \(f(x)=x^{2}\) und die Stelle \(x_0=3\).
Bestimmen Sie \(f'(3)\) in drei Schritten. Der Differenzenquotient \(\frac{(3+h)^{2}-9}{h}\) lässt sich zu \(6+h\) vereinfachen.
- \(f(3)=\;?\)
- Der vereinfachte Differenzenquotient \(6+h\) hat für \(h=0{,}1\) den Wert \(?\)
- Für \(h\to 0\) folgt \(f'(3)=\;?\)
Leiten Sie die folgenden Funktionen ab.
a) \(f(x)=x^{7}\) b) \(g(x)=5x^{3}\) c) \(h(x)=x^{4}-3x^{2}+2x-9\) d) \(k(x)=8\)
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a) \(f'(x)=7x^{6}\) — Exponent nach vorn, Exponent um eins kleiner.
b) \(g'(x)=5\cdot 3x^{2}=15x^{2}\) — der Faktor \(5\) bleibt stehen (Faktorregel).
c) \(h'(x)=4x^{3}-6x+2\) — summandenweise ableiten (Summenregel); die \(-9\) fällt weg.
d) \(k'(x)=0\) — eine konstante Funktion hat überall die Steigung null.
Sechs Paare aus Funktion und behaupteter Ableitung. Entscheiden Sie jeweils, ob die Ableitung korrekt ist.
| Aufgabe | richtig | falsch |
|---|---|---|
| \(f(x)=x^{5}\;\Rightarrow\;f'(x)=5x^{4}\) | ||
| \(f(x)=3x^{2}\;\Rightarrow\;f'(x)=6x\) | ||
| \(f(x)=x^{3}+4\;\Rightarrow\;f'(x)=3x^{2}+4\) | ||
| \(f(x)=-2x^{4}\;\Rightarrow\;f'(x)=-8x^{3}\) | ||
| \(f(x)=7\;\Rightarrow\;f'(x)=7\) | ||
| \(f(x)=x\;\Rightarrow\;f'(x)=1\) |
Erklären Sie in eigenen Worten den Unterschied zwischen der durchschnittlichen und der lokalen Änderungsrate. Gehen Sie dabei auf Sekante und Tangente ein.
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Die durchschnittliche Änderungsrate gehört immer zu einem ganzen Intervall \([a\,;\,b]\). Sie ist die Steigung der Sekante durch die beiden Randpunkte und beantwortet die Frage: „Wie stark hat sich \(f\) im Mittel über dieses Intervall geändert?“
Die lokale Änderungsrate gehört zu einer einzelnen Stelle \(x_0\). Sie ist die Steigung der Tangente im Punkt \(P(x_0\mid f(x_0))\) und beantwortet die Frage: „Wie steil ist der Graph genau dort?“ Man schreibt sie als \(f'(x_0)\).
Der Zusammenhang: Man lässt im Differenzenquotienten die zweite Stelle gegen \(x_0\) wandern. Aus der Sekante wird dabei die Tangente, aus der durchschnittlichen die lokale Änderungsrate: \(f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\).
Gegeben ist \(f(x)=3x^{4}-2x^{2}+7\).
Geben Sie die Ableitungsfunktion \(f'(x)\) an.
12x^3 - 4x. Potenzen mit ^, Malzeichen * oder weglassen. Enter prüft.Gegeben ist \(f(x)=x^{2}+2x\) und die Berührstelle \(x_0=2\).
Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von \(f\) an dieser Stelle.
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1. Ableitung: \(f'(x)=2x+2\).
2. Steigung: \(m=f'(2)=2\cdot 2+2=6\).
3. Berührpunkt: \(f(2)=4+4=8\), also \(P(2\mid 8)\).
4. Achsenabschnitt: \(8=6\cdot 2+b\Rightarrow b=8-12=-4\).
5. Ergebnis: \(g(x)=6x-4\). Probe: \(g(2)=12-4=8=f(2)\) ✓
Gegeben ist \(f(x)=x^{2}\) und die Stelle \(x_0=2\).
Bestimmen Sie die Steigung der Tangente und die Steigung der Normalen an dieser Stelle.
-1/4 geschrieben werden.Gegeben sind \(f(x)=\sin(x)\), \(g(x)=\cos(x)\) und \(h(x)=3\sin(x)-2\cos(x)\). Alle Stellen im Bogenmaß.
Geben Sie die drei Ableitungen an und berechnen Sie \(h'(0)\).
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\(f'(x)=\cos(x)\) und \(g'(x)=-\sin(x)\) — beim Kosinus kommt ein Minuszeichen dazu.
Mit Summen- und Faktorregel: \(h'(x)=3\cos(x)-2\cdot(-\sin(x))=3\cos(x)+2\sin(x)\).
Einsetzen: \(h'(0)=3\cos(0)+2\sin(0)=3\cdot 1+2\cdot 0=3\).
Achtung: Der Satz gilt nur im Bogenmaß. Im Gradmaß stimmt \(\sin'=\cos\) nicht.