ZurückZur KapitelübersichtAlle Unterkapitel der Differenzialrechnung auf einen Blick
Alle Begriffe und Formeln des Kapitels auf Karten. Tippe eine Karte an (oder wähle sie mit Tab und drücke Enter), um die Rückseite zu sehen. Ideal für fünf Minuten Wiederholung kurz vor der Klausur.
1
Änderungsraten
7 Karten
Durchschnittliche Änderungsrate
umdrehen
\(m=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
Steigung der Sekante über dem Intervall \([a\,;\,b]\). Gleichbedeutend: mittlere Steigung.
Differenzenquotient
umdrehen
\(\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
Name des Bruchs, weil oben und unten je eine Differenz steht.
h-Schreibweise
umdrehen
\(\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\)
Derselbe Bruch mit \(b=x_0+h\). Praktisch für den Grenzübergang \(h\to 0\).
Sekante
umdrehen
Gerade durch zwei Punkte des Graphen. Ihre Steigung ist die durchschnittliche Änderungsrate.
Tangente
umdrehen
Grenzlage der Sekanten, wenn \(Q\) gegen \(P\) wandert. Berührt den Graphen in \(P\).
Lokale Änderungsrate
umdrehen
\(f'(x_0)\)
Steigung der Tangente im Punkt \(P(x_0\mid f(x_0))\) — die Änderungsrate an einer Stelle.
Vorzeichen der Änderungsrate
umdrehen
\(m>0\) steigend, \(m<0\) fallend
\(m=0\) bedeutet waagerecht. Das Vorzeichen sagt nichts über die Lage des Graphen aus.
2
Ableitung und Grenzwert
6 Karten
Ableitung an einer Stelle
umdrehen
\(f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\)
Grenzwert des Differenzenquotienten. Existiert er, heißt \(f\) an dieser Stelle differenzierbar.
\(f'(x_0)\) ist …
umdrehen
eine Zahl — kein Term, keine Funktion, kein Graph. Sie gehört zu genau einer Stelle.
Ableitungsfunktion
umdrehen
\(f'\)
Entsteht, wenn man die Stelle laufen lässt. Ordnet jedem \(x\) die Steigung von \(f\) an dieser Stelle zu.
h-Methode — Ablauf
umdrehen
Aufstellen → ausmultiplizieren → \(h\) ausklammern → kürzen → \(h\to 0\).
Warum darf man kürzen?
umdrehen
\(h\neq 0\)
Beim Kürzen ist \(h\) noch von null verschieden. Erst danach betrachtet man den Grenzwert.
Nicht differenzierbar
umdrehen
\(f(x)=|x|\) bei \(x_0=0\)
Von rechts liefert der Differenzenquotient \(+1\), von links \(-1\). An einem Knick gibt es keine eindeutige Tangente.
3
Ableitungsregeln
10 Karten
Potenzregel
umdrehen
\(f(x)=x^{n}\;\Rightarrow\;f'(x)=n\,x^{\,n-1}\)
Exponent nach vorn, Exponent um eins kleiner. Gilt auch für negative und gebrochene \(n\).
Faktorregel
umdrehen
\(f=k\cdot u\;\Rightarrow\;f'=k\cdot u'\)
Ein konstanter Faktor bleibt beim Ableiten stehen.
Summenregel
umdrehen
\(f=u\pm v\;\Rightarrow\;f'=u'\pm v'\)
Summanden werden einzeln abgeleitet.
Konstante Funktion
umdrehen
\(f(x)=c\;\Rightarrow\;f'(x)=0\)
Waagerechte Gerade — die Steigung ist überall null. Auch eine additive Konstante fällt weg.
Lineare Funktion
umdrehen
\(f(x)=mx+b\;\Rightarrow\;f'(x)=m\)
Eine Gerade hat überall dieselbe Steigung.
Kehrwert
umdrehen
\(f(x)=\dfrac{1}{x}\;\Rightarrow\;f'(x)=-\dfrac{1}{x^{2}}\)
Erst als Potenz schreiben: \(x^{-1}\). Das Minuszeichen gehört dazu.
Wurzel
umdrehen
\(f(x)=\sqrt{x}\;\Rightarrow\;f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)
Erst als Potenz \(x^{\frac12}\) schreiben, dann Potenzregel anwenden.
Sinus ableiten
umdrehen
\(\sin'(x)=\cos(x)\)
Ohne Vorzeichenwechsel — und nur im Bogenmaß.
Kosinus ableiten
umdrehen
\(\cos'(x)=-\sin(x)\)
Hier entsteht das Minuszeichen. Ebenfalls nur im Bogenmaß.
Kein Produkt einzeln ableiten
umdrehen
Es gibt in diesem Halbjahr keine Produktregel. Terme wie \(x\cdot x^{2}\) zuerst zu \(x^{3}\) vereinfachen.
4
Graph und Ableitungsgraph
5 Karten
NEW-Regel
umdrehen
\(E\to N\), \(W\to E\)
Beim Übergang zur nächsten Ableitung rutscht jeder Buchstabe eine Position nach links.
N wie Nullstelle
umdrehen
Extremstellen von \(f\) werden zu Nullstellen von \(f'\).
E wie Extrempunkt
umdrehen
Wendestellen von \(f\) werden zu Extremstellen von \(f'\) — und damit zu Nullstellen von \(f''\).
\(f\) steigt
umdrehen
\(f'>0\)
Der Graph von \(f'\) verläuft dort oberhalb der \(x\)-Achse. Fällt \(f\), liegt \(f'\) darunter.
Sattelpunkt im Ableitungsgraphen
umdrehen
Nullstelle von \(f'\) ohne Vorzeichenwechsel — der Graph von \(f'\) berührt die \(x\)-Achse.
5
Tangente und Normale
7 Karten
Tangentengleichung
umdrehen
\(g(x)=m\,x+b\) mit \(m=f'(x_0)\)
\(b\) erhält man, indem man den Berührpunkt \(\bigl(x_0\mid f(x_0)\bigr)\) einsetzt.
Tangente — fünf Schritte
umdrehen
Ansatz → \(m=f'(x_0)\) → \(f(x_0)\) → \(b\) bestimmen → Probe \(g(x_0)=f(x_0)\).
Normale
umdrehen
\(m_n=-\dfrac{1}{f'(x_0)}\)
Steht senkrecht auf der Tangente und geht durch denselben Punkt.
Kontrolle bei der Normalen
umdrehen
\(m_t\cdot m_n=-1\)
Deckt Vorzeichenfehler sofort auf. Bei \(m_t=0\) ist die Normale senkrecht und hat keine Steigung.
Neigungswinkel
umdrehen
\(\tan\alpha=m\;\Rightarrow\;\alpha=\arctan(m)\)
Der Rechner muss dabei auf Gradmaß stehen. \(m=1\) entspricht \(45^{\circ}\).
Waagerechte Tangente
umdrehen
\(f'(x_0)=0\)
Typisch für Hoch-, Tief- und Sattelpunkte. Nicht mit einer Nullstelle von \(f\) verwechseln.
Einheit einer Änderungsrate
umdrehen
Einheit von \(y\) pro Einheit von \(x\) — etwa \(\mathrm{\frac{m}{s}}\), \(\mathrm{\frac{cm}{min}}\) oder Euro pro Stück.