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Kapitel 6

Die NEW-Regel

Nullstelle, Extrempunkt, Wendepunkt: Beim Ableiten rutscht jeder dieser Begriffe eine Position nach links — das macht den Zusammenhang von \(f\), \(f'\) und \(f''\) merkbar.

6.1

Drei Etagen: \(f\), \(f'\) und \(f''\)

Die Graphen von \(f\), \(f'\) und \(f''\) gehören zusammen wie drei Etagen eines Hauses. Alle drei nutzen dieselbe \(x\)-Achse.

Drei Etagen: \(f\), \(f'\) und \(f''\) übereinander
x Originalfunktion f x 1. Ableitung f′ x 2. Ableitung f″ −3 −2 −1 1 2 Extremstelle von f Wendestelle von f
Oben (blau) die Originalfunktion \(f\) mit drei Extrempunkten und zwei Wendepunkten. In der Mitte (rot) die erste Ableitung \(f'\): Sie hat genau dort ihre Nullstellen, wo \(f\) waagerechte Tangenten hat, und ihre Extrempunkte an den Wendestellen von \(f\). Unten (violett) die zweite Ableitung \(f''\) mit Nullstellen genau an den Wendestellen von \(f\).
  • Extremstelle:Hoch- oder Tiefpunkt von \(f\) — die Tangente ist dort waagerecht.
  • Wendestelle:der Graph wechselt seine Krümmung; die Steigung ist dort am größten oder am kleinsten.
  • Nullstelle:der Graph schneidet oder berührt die \(x\)-Achse, der Funktionswert ist null.
  • Etagenwechsel:was oben eine Extremstelle ist, wird eine Etage tiefer zur Nullstelle.
6.2

N – E – W: die Merkregel

Schreib N, E, W für \(f\) auf und darunter noch einmal für \(f'\), um eine Position verschoben. Dann steht unter jedem Begriff sein Gegenstück in der nächsten Ableitung.

Die NEW-Merkregel
f N N E E W W f′ N N E E W W f″ N N E E W W
Der grüne Pfeil führt vom E der oberen Zeile auf das N der Zeile darunter: Eine Extremstelle von \(f\) ist eine Nullstelle von \(f'\). Der orange Pfeil führt vom W auf das E: Eine Wendestelle von \(f\) ist eine Extremstelle von \(f'\) — und damit, eine Zeile weiter, eine Nullstelle von \(f''\).
  • E → N:eine Extremstelle von \(f\) ist eine Nullstelle von \(f'\).
  • W → E:eine Wendestelle von \(f\) ist eine Extremstelle von \(f'\).
  • W → N:eine Wendestelle von \(f\) ist eine Nullstelle von \(f''\).
  • Rückwärts:eine Nullstelle von \(f'\) ist nur eine mögliche Extremstelle von \(f\).
Merke

NEW-Regel: Beim Übergang zur nächsten Ableitung wird aus E ein N und aus W ein E.

6.3

Die Regel im Einzelnen

Hinter jedem Buchstaben steckt ein Kennzeichen, das du am Graphen von \(f'\) ablesen kannst.

  • Hochpunkt:\(f'(x_0)=0\), und \(f'\) wechselt das Vorzeichen von \(+\) nach \(-\).
  • Tiefpunkt:\(f'(x_0)=0\), und \(f'\) wechselt das Vorzeichen von \(-\) nach \(+\).
  • Sattelpunkt:\(f'(x_0)=0\) ohne Vorzeichenwechsel — \(f'\) berührt die \(x\)-Achse nur.
  • Wendepunkt:\(f'\) hat dort einen Hoch- oder Tiefpunkt, also ist \(f''(x_0)=0\).
  • \(f\) steigt:der Graph von \(f'\) liegt oberhalb der \(x\)-Achse.
  • \(f\) fällt:der Graph von \(f'\) liegt unterhalb der \(x\)-Achse.
Merke

Extremstelle: \(f'(x_0)=0\) und \(f'\) wechselt bei \(x_0\) das Vorzeichen

6.4

Die Etagen abtasten

Mit einer senkrechten Sonde siehst du alle drei Etagen an derselben Stelle \(x\) gleichzeitig.

Zieh den blauen Punkt oder nutze den Regler. Blau liegt auf \(f\), Rot auf \(f'\), Violett auf \(f''\).

Etagen-Sonde

Zieh den blauen Punkt mit der Maus, benutze den Schieberegler oder spring mit den Schaltflächen direkt auf eine markante Stelle. Mit den Pfeiltasten bewegst du die Sonde in kleinen Schritten.

f f′ f″ −3 −2 −1 1 2 x = 0
Stelle
x = 0
Wert von f′
0
Wert von f″
−0,78
Verlauf von f
waagerechte Tangente
Hochpunkt von f: Hier ist f′ null und wechselt das Vorzeichen von plus nach minus.

Halte fest: Sitzt Blau auf einem Hoch- oder Tiefpunkt, liegt Rot auf der \(x\)-Achse (E → N). Sitzt Rot auf einem Extrempunkt, liegt Violett auf der \(x\)-Achse (W → E).

6.5

NEW anwenden: vom Graphen zur Ableitung

So skizzierst du \(f'\) aus dem Graphen von \(f\) — immer in derselben Reihenfolge.

  • 1. N:Stellen mit waagerechter Tangente als Nullstellen von \(f'\) eintragen.
  • 2. Vorzeichen:wo \(f\) steigt, liegt \(f'\) oberhalb der \(x\)-Achse, wo \(f\) fällt, unterhalb.
  • 3. E:an den Wendestellen von \(f\) bekommt \(f'\) einen Hoch- oder Tiefpunkt.
  • 4. Skizze:alle Punkte zu einer glatten Kurve verbinden.
  • Beispiel:Tiefpunkte bei \(-3\) und \(3{,}6\), Hochpunkt bei \(1\) → \(f'\) hat genau dort Nullstellen und ist eine kubische Kurve.

Wähle eine Funktion und überleg dir zuerst selbst, wie \(f'\) aussieht. Blende erst dann die rote Kurve ein.

Vier Graphen, vier Ableitungen

Wähle eine Funktion, überlege dir mit der NEW-Regel den Verlauf von \(f'\) und blende die Lösung ein. Bei fokussierter Grafik wechselst du mit den Pfeiltasten die Funktion und blendest mit der Eingabetaste \(f'\) um.

f f′ Erst selbst überlegen — dann f′ einblenden.
Gewählte Funktion
Parabel nach oben
Extremstellen von f
x = 1
Wendestellen von f
keine
Die Parabel hat einen Tiefpunkt bei x = 1. Also hat f′ dort eine Nullstelle — und weil f links davon fällt und rechts davon steigt, ist f′ eine steigende Gerade.

Halte fest: Aus einer Parabel wird eine Gerade, aus einer kubischen Funktion eine Parabel. Beim Sattelpunkt hat \(f'\) eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel.

6.6

Allgemeine Hinweise

Nullstelle ist nicht Extremstelle

\(f'(x_0)=0\) heißt nur: Die Tangente ist waagerecht. Erst der Vorzeichenwechsel von \(f'\) zeigt einen Hoch- oder Tiefpunkt.

Feste Reihenfolge

Trag zuerst die Nullstellen von \(f'\) ein, dann die Vorzeichen. So verlierst du keine Nullstelle.

Gleiche x-Achse

Zeichne \(f'\) direkt unter \(f\) mit derselben Einteilung. Dann lotest du jede Stelle einfach senkrecht nach unten.

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