MINT lernen

3.2.1

Ableitung

Wir schrumpfen das Intervall auf einen einzigen Punkt zusammen. Übrig bleibt eine Zahl: die Steigung der Tangente an genau dieser Stelle.

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Die Ableitung an einer Stelle

Die Sekante beschreibt nur das Mittel. Lässt du \(Q\) auf \(P\) zuwandern, wird sie zur Tangente – deren Steigung ist die Ableitung.

  • Fester Punkt:\(P(x_0\,|\,f(x_0))\); \(Q(x\,|\,f(x))\) wandert auf dem Graphen.
  • Grenzlage:Die Sekante dreht sich in die Tangente in \(P\).
  • \(f'(x_0)\):eine Zahl, die zu genau einer Stelle gehört: „Wie steil ist der Graph dort?“
  • Kein Einsetzen:\(x=x_0\) ist verboten, sonst stünde unten null.
Von der Sekante zur Tangente
x y P Q f(x₀) f(x) x₀ x Tangente in P Sekante durch P und Q x → x₀
Wandert Q auf dem Graphen nach links auf P zu, so dreht sich die orange Sekante in die Lage der blauen Tangente. Deren Steigung ist die gesuchte Zahl f′(x₀).
Merke

Ableitung an der Stelle \(x_0\): \(f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\)

Für dieselbe Zahl gibt es mehrere Schreibweisen. Selbst schreiben musst du nur die erste.

  • \(f'(x_0)\):„f Strich von \(x_0\)“ – Schreibweise nach Lagrange.
  • \(\frac{\mathrm df}{\mathrm dx}(x_0)\):nach Leibniz, erinnert an \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\).
  • \(\dot s(t_0)\):Physik: Ableitung nach der Zeit, die Momentangeschwindigkeit.
  • \(m_{\text{Tangente}}\):geometrisch die Steigung der Tangente in \(P\).

Hat der Graph einen Knick, gibt es dort keine eindeutige Tangente.

Ableitbar oder nicht?
glatte Stelle: genau eine Tangente f ist an dieser Stelle ableitbar Knickstelle: zwei mögliche Geraden f ist an dieser Stelle nicht ableitbar
Links lässt sich genau eine Tangente anlegen — die Ableitung existiert. Rechts würden Sekanten von links und von rechts auf zwei verschiedene Geraden führen; an einer Knickstelle gibt es deshalb keine Ableitung.
  • Ableitbar:Der Grenzwert existiert – es gibt genau eine Tangente.
  • Knick:Sekanten von links und rechts führen zu verschiedenen Grenzlagen – nicht ableitbar.
  • Typisch:Betrag oder Tarife, die ab einer Menge anders rechnen; Potenz- und Polynomfunktionen sind überall ableitbar.
2

Annähern statt raten

Du rechnest Differenzenquotienten aus und rückst mit \(x\) immer dichter an \(x_0\) heran. Beispiel: \(f(x)=x^2\) bei \(x_0=1{,}5\), also \(f(1{,}5)=2{,}25\).

Differenzenquotient von f(x) = x² zwischen 1,5 und einer Stelle x, die immer näher heranrückt
Stelle x2,521,61,511,50011,50001
Differenzenquotient43,53,13,013,00013,00001
  • Festwert:\(f(x_0)\) einmal berechnen und festhalten.
  • Nachbarstelle:\(x\) dicht bei \(x_0\) wählen und den Quotienten bilden.
  • Ablesen:Die Werte laufen auf 3 zu, also \(f'(1{,}5)=3\).
  • Beispiel:\(f(x)=x^3\), \(x=2{,}001\): \(\frac{8{,}012006001-8}{0{,}001}\approx12{,}006\), also \(f'(2)=12\).
Merke

Numerisch annähern: \(\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\;\longrightarrow\;f'(x_0)\) für \(x\to x_0\)

Stelle \(x_0\) und den Abstand \(\Delta\) ein und beobachte, wie sich die Sekante auf die Tangente legt.

Immer näher an x₀

Die Funktion ist fest: \(f(x)=0{,}25x^{2}+1\). Wähle die Stelle \(x_0\) und den Abstand \(\Delta\) zur Nachbarstelle \(x=x_0+\Delta\).

x y P Q
Nachbarstelle x
2,5
Differenzenquotient
1,125000
Tangentensteigung f′(x₀)
1
Bei Δ = 0,5 weicht der Quotient noch sichtbar von der Tangentensteigung ab.

Bei dieser Funktion landet der Quotient immer bei \(0{,}5\cdot x_0\).

3

Der schnelle Weg: nDeriv im GTR

Der Befehl nDeriv (numerical derivative) führt dieselbe Annäherung im Rechner aus. Er liefert sofort die Zahl.

  • Term speichern:Menü Graph, \(Y_1=X^2\) eingeben.
  • Befehl holen:ALPHA → F2 liefert nDeriv.
  • Funktion einsetzen:ALPHA → F4 holt \(Y_1\); dann die Stelle eingeben und EXE.
  • Dezimalpunkt:Der Rechner schreibt 1.5, im Heft schreibst du 1,5.
  • Runden:Steht 2,999999999 da, schreibst du 3.
nDeriv auf dem GTR-Display
Run-Matrix MATH Y1 = X² d/dx(Y1)|x=1.5 3 Funktionsterm vorher unter Y1 eingegeben Stelle x₀ Punkt statt Komma: 1.5 Ergebnis f′(1,5) = 3
Der Rechner führt dieselbe Annäherung durch wie die Tabelle oben — nur in Sekundenbruchteilen. Farbig markiert sind Funktionsterm, Stelle und Ergebnis.
Merke

nDeriv: liefert einen Näherungswert für \(f'(x_0)\) – die Ableitbarkeit prüfst du selbst.

Wähle eine Funktion, stelle \(x_0\) ein und drücke EXE. Schätze vorher selbst.

GTR-Simulator: nDeriv

Der Rechner zeigt links den gespeicherten Term unter \(Y_1\) und darunter den Befehl. Erst nach EXE erscheint das Ergebnis.

Run-Matrix MATH Y1 = -X²+6X d/dx(Y1)|x=1.5 Kontrollbild: Graph und Tangente
Befehl
d/dx(Y1)|x=1.5
Ergebnis f′(x₀)
—
Funktionswert f(x₀)
6,75
Schätze zuerst, ob die Zahl positiv, negativ oder null sein wird — dann drücke EXE.

Bei der zweiten Funktion ergeben \(x_0=0{,}5\), \(2\) und \(3{,}5\) nacheinander positiv, negativ, positiv. Dazwischen muss die Ableitung null sein.

4

Was die Zahl im Sachkontext bedeutet

In Anwendungen gehört zur Zahl ein Antwortsatz. Die Einheit ist Hochachse durch Rechtsachse.

  • Einheit:\([f']=\frac{[y]}{[x]}\), z. B. \(\frac{\text{m}}{\text{min}}\), \(\frac{\text{m}^3}{\text{min}}\) oder \(\frac{\text{hPa}}{\text{m}}\).
  • Beispiel:Tee: \(T'(10)=-1{,}8\,\frac{{}^\circ\text{C}}{\text{min}}\) – nach 10 min kühlt er um 1,8 °C pro Minute ab.
  • \(f'(x_0)>0\):Die Größe nimmt zu.
  • \(f'(x_0)<0\):Die Größe nimmt ab.
  • \(f'(x_0)=0\):keine Änderung in diesem Moment, oft Hoch- oder Tiefpunkt.
  • Betrag:Je größer \(|f'(x_0)|\), desto schneller die Änderung.
Merke

Einheit der Ableitung: \([f']=\dfrac{[y]}{[x]}\)

5

Von der Zahl zur Ableitungsfunktion

Wendest du das Verfahren an vielen Stellen an, erhältst du eine Wertetabelle. Hier für \(f(x)=-0{,}4x^{3}+3x^{2}-4{,}8x+4\).

Sieben einzeln bestimmte Ableitungswerte von f(x) = −0,4x³ + 3x² − 4,8x + 4
Stelle x₀0122,5345
Ableitung f′(x₀)−4,802,42,72,40−4,8
Fünf Tangenten an denselben Graphen
x y 1 2 3 4 5 2 4 6 m = −4,8 m = 0 m = 2,7 m = 0 m = −4,8 Tiefpunkt Hochpunkt
Jede Stelle bringt ihre eigene Tangentensteigung mit. Rote Tangenten gehören zu negativen, grüne zu positiven Ableitungswerten; violett markiert sind die beiden waagerechten Tangenten mit m = 0.
  • Verlauf:fällt, bei \(x=1\) waagerecht, steigt, bei \(x=4\) waagerecht, fällt wieder.
  • Ableitungsfunktion:ordnet jeder Stelle \(x\) die Zahl \(f'(x)\) zu.
  • Zahl oder Funktion:\(f'(x_0)\) ist eine Zahl, \(f'\) eine Funktion mit eigenem Graphen.
  • Punkte von \(f'\):\((0\,|\,-4{,}8)\), \((1\,|\,0)\), \((2\,|\,2{,}4)\) …
Merke

Ableitungsfunktion: \(f'\colon\; x\longmapsto f'(x)\)

Ziehe den Punkt langsam von links nach rechts über den Graphen von \(f\). Unten entsteht der Graph von \(f'\).

Tangenten-Wanderer

Ziehe den gelben Punkt mit der Maus, benutze den Schieberegler oder wähle den Punkt mit Tab aus und verschiebe ihn mit den Pfeiltasten ← und →.

Graph von f Ableitungswerte f′(x)
Stelle x
2,50
Funktionswert f(x)
4,50
Ableitung f′(x)
2,70
Die Tangente steigt: f′(2,50) = 2,70 ist positiv.

Unten landet der Punkt bei \(x=1\) und \(x=4\) auf der Achse – dort hat \(f\) waagerechte Tangenten.

6

Allgemeine Hinweise

Wert oder Rate?

„Wie warm?“ fragt nach \(T(10)\), „wie schnell?“ nach \(T'(10)\). Lies genau, wonach gefragt ist.

Einheit nicht vergessen

„Die Ableitung beträgt 25,2“ ist keine Antwort. Schreibe die Einheit als Bruch dazu, z. B. \(\frac{\text{m}}{\text{min}}\).

Rechner prüft nicht

An einer Knickstelle gibt nDeriv trotzdem eine Zahl aus. Ob die Ableitung existiert, prüfst du selbst.

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