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Kapitel 7.3

Die Ableitung von 1/x

Die Hyperbel wird ohne Umweg über \(h\) abgeleitet — und am Ende stehen die acht Grundableitungen des Kapitels in einer Übersicht.

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Die Hyperbel und ihre Sekanten

Die Funktion \(f(x)=\frac{1}{x}\) wird einmal von Hand abgeleitet. Ihr Graph ist eine Hyperbel mit zwei Ästen.

  • Definitionsbereich:\(x\neq0\), denn durch null darfst du nicht teilen.
  • Punkte:\(P\left(x_0 \mid \frac{1}{x_0}\right)\) und \(Q\left(x \mid \frac{1}{x}\right)\) mit \(x\neq x_0\).
  • Schreibweise:Du bleibst bei \(x\) – die \(h\)-Substitution ist hier nicht nötig.
  • Ansatz:\(m=\dfrac{\frac{1}{x}-\frac{1}{x_0}}{x-x_0}\) – ein Doppelbruch.
Sekante durch \(P\) und \(Q\) an der Hyperbel
x y −3 −2 −1 1 2 3 −2 −1 1 2 f(x) = 1x x − x₀ f(x) − f(x₀) x₀ x 1x₀ 1x P Q
Das grüne Steigungsdreieck zeigt die beiden Größen des Differenzenquotienten. Weil die Sekante fällt, ist der Zuwachs \(f(x)-f(x_0)\) negativ — die Steigung wird also negativ sein.

Verschiebe \(Q\) auf dem rechten Ast und beobachte die Sekantensteigung.

Sekanten an der Hyperbel

Zieh \(Q\) mit der Maus über den Graphen oder benutze die Schieberegler. Mit den Pfeiltasten verschiebst du \(Q\) in kleinen Schritten, mit der Eingabetaste springt \(Q\) dicht an \(P\) heran.

x y −3 −2 −1 1 2 3 −2 −1 1 2 f(x) = 1x Tangente in P Sekante durch P und Q P Q
Sekantensteigung m
−0,926
Wert von x · x0
1,08
Tangentensteigung in P
−2,778
Die Sekante fällt: m = −0,926. Schieb Q näher an P heran.

Die Steigung ist immer negativ. Je größer das Produkt \(x\cdot x_0\), desto flacher die Sekante.

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Die Sekantensteigung ausrechnen

Der Doppelbruch wird mit dem Hauptnenner \(x\cdot x_0\) aufgelöst.

  • Hauptnenner:\(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x_0}=\dfrac{x_0-x}{x\cdot x_0}\).
  • Einsetzen:\(m=\dfrac{1}{x\cdot x_0}\cdot\dfrac{x_0-x}{x-x_0}\).
  • Vorzeichen:\(x_0-x=-1\cdot(x-x_0)\), der zweite Bruch ergibt \(-1\).
  • Ergebnis:\(m=-\dfrac{1}{x\cdot x_0}\) – die Differenz \(x-x_0\) steht nicht mehr im Nenner.
Merke

Sekantensteigung: \(\dfrac{\frac{1}{x}-\frac{1}{x_0}}{x-x_0}=-\dfrac{1}{x\cdot x_0}\)

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Der Grenzübergang: die Tangentensteigung

Läuft \(x\) gegen \(x_0\), geht \(x\cdot x_0\) gegen \(x_0^{\,2}\). Nach dem Vereinfachen ist das Einsetzen erlaubt.

  • Grenzwert:\(f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\left(-\frac{1}{x\cdot x_0}\right)=-\frac{1}{x_0^{\,2}}\).
  • Vorzeichen:\(x^2>0\), also ist \(f'(x)\) für jedes \(x\neq0\) negativ.
  • Nahe null:Die Tangente wird extrem steil.
  • Weit draußen:Die Tangente wird fast waagerecht.
Merke

Ableitung von \(\frac{1}{x}\): \(f(x)=\dfrac{1}{x} \;\Longrightarrow\; f'(x)=-\dfrac{1}{x^{2}}\)

Verschiebe links die Stelle \(x_0\) auf der Hyperbel. Rechts wandert der Punkt auf dem Graphen von \(f'\) mit.

Von der Tangente zum Ableitungsgraphen

Zieh den Punkt auf der linken Hyperbel oder benutze den Schieberegler. Mit den Pfeiltasten verschiebst du \(x_0\); die Eingabetaste wechselt zwischen den beiden Ästen.

x y −2 −1 1 2 −2 −1 1 2 x y −2 −1 1 2 −2 −1 1 2 f(x) = 1x f′(x) = − 1x²
Funktionswert f(x0)
1
Tangentensteigung f′(x0)
−1
Punkt auf dem Graphen von f′
(1 | −1)
An der Stelle 1 hat die Tangente die Steigung −1. Der rechte Punkt liegt deshalb bei −1.

Beide Äste des Ableitungsgraphen liegen unter der \(x\)-Achse.

4

Dasselbe mit der Potenzregel

Mit negativem Exponenten ist \(\frac{1}{x}=x^{-1}\). Die Potenzregel liefert dasselbe Ergebnis in einer Zeile.

  • \(\frac{1}{x}\):\(x^{-1}\;\Rightarrow\;-1\cdot x^{-2}=-\frac{1}{x^2}\).
  • Bruch:\(\frac{1}{x^n}=x^{-n}\).
  • Wurzel:\(\sqrt[n]{x}=x^{\frac{1}{n}}\).
  • Beispiel:\(x^8\Rightarrow 8x^7\); \(x^{-3}\Rightarrow-\frac{3}{x^4}\); \(\sqrt[3]{x}\Rightarrow\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}\).
  • Danach:Ergebnis wieder als Bruch oder Wurzel schreiben.
Merke

Potenzregel: \(f(x)=x^{n} \;\Longrightarrow\; f'(x)=n\cdot x^{\,n-1}\), \(n\in\mathbb{Q}^{*}\)

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Die acht Grundableitungen

Die Tafel fasst alle bisher abgeleiteten Funktionstypen zusammen. Sechs Zeilen sind Anwendungen der Potenzregel.

Gehe die acht Fälle durch und vergleiche den Graphen von \(f\) mit dem von \(f'\).

Die acht Grundableitungen im Bild

Wähle eine Funktion aus. Links erscheint ihr Graph, rechts der Graph ihrer Ableitung. Mit den Pfeiltasten wechselst du zwischen den Fällen, die Eingabetaste springt zum nächsten.

x y −2 −1 1 2 −2 −1 1 2 3 x y −2 −1 1 2 −2 −1 1 2 3
Funktion
f(x) = 3
Ableitung
f′(x) = 0
Eine konstante Funktion hat überall die Steigung null: Der Ableitungsgraph liegt auf der x-Achse.

Je größer der Exponent, desto steiler der Ableitungsgraph. Bei \(\sqrt{x}\) wird die Steigung klein, aber nie null.

Die acht Grundableitungen aus den beiden Übersichtstafeln
FunktionAbleitung
\(f(x) = k\)\(f'(x) = 0\)
\(f(x) = mx + b\)\(f'(x) = m\)
\(f(x) = x^{2}\)\(f'(x) = 2x\)
\(f(x) = x^{3}\)\(f'(x) = 3x^{2}\)
\(f(x) = x^{4}\)\(f'(x) = 4x^{3}\)
\(f(x) = \dfrac{1}{x}\)\(f'(x) = -\dfrac{1}{x^{2}}\)
\(f(x) = \dfrac{1}{x^{2}}\)\(f'(x) = -\dfrac{2}{x^{3}}\)
\(f(x) = \sqrt{x}\)\(f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)
  • Exponenten:\(2\), \(3\), \(4\), \(-1\), \(-2\) und \(\tfrac12\) – alles Potenzregel.
  • Konstante, Gerade:stammen aus der Wiederholung zu Beginn des Kapitels.
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Allgemeine Hinweise

Erst vereinfachen

Setze \(x=x_0\) erst ein, wenn \(x-x_0\) nicht mehr im Nenner steht. Vorher wäre der Nenner null.

Minus beim Exponenten

Aus \(x^{-1}\) wird \(x^{-2}\), nicht \(x^{0}\). Der Exponent wird um eins kleiner, also negativer.

Erst als Potenz schreiben

Schreibe Brüche und Wurzeln vor dem Ableiten als \(x^n\). Dann reicht die Potenzregel.

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