Der Telematik-Tarif: Tempo aus dem Weg-Diagramm
Beim Telematik-Tarif zeichnet ein Gerät die Fahrt als Zeit-Weg-Diagramm auf. Leitfrage: Reicht das aus, um das Tempo zu beurteilen?
- Achsen:Zeit \(x\) in h nach rechts, Strecke \(f(x)\) in km nach oben.
- Tiefpunkt \(T(0 \mid 50)\):Start bei 50 km, waagerechte Tangente – das Auto steht noch.
- Steigender Ast:Zwischen \(x=0\) und \(x=6\) wächst die Strecke.
- Wendepunkt \(W(3 \mid 320)\):steilste Stelle – hier fährt das Auto am schnellsten.
- Hochpunkt \(H(6 \mid 590)\):waagerechte Tangente – das Auto steht.
- Tempo:steckt in der Steigung, Einheit \(\frac{\text{km}}{\text{h}}\).
Steigung ist Tempo: \([f']=\dfrac{[y]}{[x]}=\dfrac{\text{km}}{\text{h}}\)
Von der Tangente zum Punkt
Das Tempo in einem Augenblick ist die Tangentensteigung \(f'(x_0)\). Beim grafischen Differenzieren liest du sie mit einem Steigungsdreieck ab.
- Ableitung:\(f'(x_0)=\lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\) – hier nur abgelesen, nicht gerechnet.
- Ableitungsfunktion:Zu jeder Stelle gehört genau eine Tangentensteigung: \(x\mapsto f'(x)\).
- Übertragen:Tangente in \(x_0\) anlegen, Steigung \(m\) ablesen, unten \((x_0\mid m)\) eintragen.
- Telematik:\(f'(0)=0\), \(f'(3)=135\), \(f'(6)=0\), \(f'(8)=-240\) in \(\frac{\text{km}}{\text{h}}\).
- Negativ:Ab \(x=6\) fällt \(f\) – im Modell fährt das Auto zurück.
| Stelle \(x_0\) in h | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Steigung \(f'(x_0)\) in \(\tfrac{\text{km}}{\text{h}}\) | 0 | 75 | 120 | 135 | 120 | 75 | 0 | −105 | −240 |
Punkt übertragen: \(\bigl(x_0 \mid f(x_0)\bigr)\) auf \(G_f\) \(\;\longrightarrow\;\) \(\bigl(x_0 \mid f'(x_0)\bigr)\) auf \(G_{f'}\)
Schiebe die Tangente an eine Stelle, lies die Steigung ab und übertrage den Punkt nach unten.
Tangenten-Schieber
Die grüne Tangente liegt am Graphen von \(f\) an. Mit ← und → bewegst du sie in Zehntelschritten, mit Bild↑ und Bild↓ in ganzen Stunden.
Bei \(x_0=0\) und \(x_0=6\) liegt die Tangente waagerecht. Der Punkt landet unten genau auf der \(x\)-Achse.
Das Verfahren in drei Schritten
Für eine Skizze von \(G_{f'}\) brauchst du keine Wertetabelle. Drei Schritte genügen.
- Wendepunkt:Der Graph wechselt die Krümmung und ist dort in seiner Umgebung am steilsten.
- Sattelpunkt:Wendepunkt mit waagerechter Tangente.
- 1. Nullstellen:Jede waagerechte Tangente von \(f\) liefert eine Nullstelle von \(f'\).
- 2. Vorzeichen:\(f\) steigt \(\Rightarrow\) \(G_{f'}\) oberhalb der Achse; \(f\) fällt \(\Rightarrow\) unterhalb.
- 3. Extremwerte:Wendepunkte von \(f\) werden zu Hoch- oder Tiefpunkten von \(f'\); dann glatt verbinden.
Grafisch differenzieren: waagerechte Tangente \(\to\) Nullstelle, steigend/fallend \(\to\) oberhalb/unterhalb, Wendepunkt \(\to\) Extrempunkt
Beispiel \(f(x)=x^3-3x^2+2\): Hochpunkt bei \(x=0\), Tiefpunkt bei \(x=2\), Wendepunkt \(W(1 \mid 0)\).
- Schritt 1:Nullstellen von \(f'\) bei \(x=0\) und \(x=2\).
- Schritt 2:\(f'\) positiv für \(x<0\) und \(x>2\), negativ dazwischen.
- Schritt 3:Im Wendepunkt fällt \(f\) am stärksten – dort hat \(f'\) einen Tiefpunkt; es entsteht eine nach oben geöffnete Parabel.
- Beispiel:\(f(x)=x^3-6x^2+40\) mit \(H(0 \mid 40)\), \(T(4 \mid 8)\), \(W(2 \mid 24)\).
- Nullstellen:\(f'(0)=0\) und \(f'(4)=0\).
- Wendetangente:durch \(W(2 \mid 24)\) und \((3 \mid 12)\): \(m=\frac{12-24}{3-2}=-12\), also \(f'(2)=-12\).
- Ergebnis:Parabel durch \((0\mid 0)\), \((2\mid -12)\), \((4\mid 0)\) – tatsächlich \(f'(x)=3x^2-12x\).
- Kontrolle:Beim Ableiten sinkt der Grad um eins.
Was \(f'\) verrät: die Übersetzungstabelle
Die drei Schritte lassen sich zu einer Tabelle verdichten. Sie übersetzt Merkmale von \(f\) in Merkmale von \(f'\).
| am Graphen von \(f\) | am Graphen von \(f'\) |
|---|---|
| Hochpunkt oder Tiefpunkt | Nullstelle mit Vorzeichenwechsel |
| Sattelpunkt | Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel (Berührpunkt) |
| Graph steigt | Graph verläuft oberhalb der \(x\)-Achse |
| Graph fällt | Graph verläuft unterhalb der \(x\)-Achse |
| Wendepunkt mit steilster Steigung | Hochpunkt |
| Wendepunkt mit steilstem Gefälle | Tiefpunkt |
- Sattelpunkt:\(f\) steigt davor und danach – \(G_{f'}\) berührt die Achse nur.
- Wendepunkt:steilster Anstieg \(\to\) Hochpunkt von \(f'\); steilstes Gefälle \(\to\) Tiefpunkt.
- Telematik:\(T(0\mid 50)\) und \(H(6\mid 590)\) \(\to\) Nullstellen; \(W(3\mid 320)\) \(\to\) Hochpunkt von \(f'\).
Extrempunkt von \(f\): Nullstelle von \(f'\) mit Vorzeichenwechsel
Oben siehst du einen Graphen von \(f\), darunter drei Kandidaten. Nur einer passt – wähle per Klick oder mit Tab und Enter.
Welcher Graph ist \(f'\)?
Klicke einen Kandidaten an oder wähle ihn mit Tab aus und bestätige mit Enter. Arbeite die Tabelle von oben nach unten ab: erst Nullstellen, dann Vorzeichen.
Bei Aufgabe 3 hat \(f\) einen Sattelpunkt. Nur ein Graph, der die Achse berührt, passt.
Skizzieren ohne Wertetabelle
Gegeben ist nur der Graph von \(f(x)=-x^4+8x^2+14\), die Strecke einer Sprinterin. Sammle zuerst die Stationen, dann verbinde.
- \(H(-2 \mid 30)\):\(f'(-2)=0\), Station \((-2 \mid 0)\).
- Wendepunkt \(x\approx-1{,}15\):steilstes Gefälle, etwa \(-12\) – Tiefpunkt von \(f'\).
- \(T(0 \mid 14)\):\(f'(0)=0\), Station \((0 \mid 0)\).
- Wendepunkt \(x\approx1{,}15\):steilster Anstieg, etwa \(+12\) – Hochpunkt von \(f'\).
- \(H(2 \mid 30)\):\(f'(2)=0\), Station \((2 \mid 0)\).
- Verbinden:Vorzeichenbereiche beachten – es entsteht eine Kurve dritten Grades.
- Sachkontext:\(f'\) ist immer eine Änderungsrate: Bestand \(\to\) Bestandsänderung, Strecke \(\to\) Geschwindigkeit.
Bedeutung von \(f'\): \(f'\) gibt an, wie schnell sich die Größe \(f\) ändert; \([f']=\dfrac{[y]}{[x]}\)
Allgemeine Hinweise
Steigung übertragen
Übertrage nie den Funktionswert nach unten. Ein hoher, aber flacher Graph gibt unten einen Wert nahe null.
Δx = 1 wählen
Zeichne das Steigungsdreieck mit \(\Delta x=1\). Dann ist seine Höhe direkt \(f'(x_0)\).
Symmetrie prüfen
Ist \(G_f\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, ist \(G_{f'}\) punktsymmetrisch zum Ursprung. Passt die Skizze nicht, prüfe sie noch einmal.